Question

Напишите уравнение окружности, проходящей через точки а(3; 0) и в(-1; 2), если центр её лежит на прямой у=х+2

Answer 1

Уравнение окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Подставляем в уравнение известные точки:
$\begin{cases} (3-a)^2+(0-b)^2=r^2 \\ (-1-a)^2+(2-b)^2=r^2 \right \end{cases}$
Приравниваем левые части:
$(3-a)^2+(0-b)^2= (-1-a)^2+(2-b)^2 \\\ (3-a)^2+b^2= (1+a)^2+(2-b)^2 \\\ 9-6a+a^2+b^2=1+2a+a^2+4-4b+b^2 \\\ 9-6a=1+2a+4-4b \\\ 8a-4b-4=0 \\\ 2a-b-1=0 \\\ b=2a-1$
Так как известно, что точка (a; b) принадлежит прямой у=х+2, то добавляем к полученному уравнению еще одно и получаем систему:
$\begin{cases} b=2a-1 \\ b=a+2 \right \end{cases} \\\ 2a-1=a+2 \\\ a=3 \\\ \Rightarrow b=3+2=5 \\\ \Rightarrow r^2=(3-3)^2+5^2=0^2+25=25$
Искомое уравнение: $(x-3)^2+(y-5)^2=25$