ответ: Пусть ABC — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.
Объяснение: Из теоремы следует, что у любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.
ΔАМВ: ∠МАВ = 90°, по теореме Пифагора:
МВ = √(МА² + АВ²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см
ΔАМВ = ΔAMD по двум катетам (АМ - общий катет, АВ = AD как стороны квадрата), следовательно
MD = 13 см
АС = АВ√2 = 12√2 см как диагональ квадрата.
ΔМАС: ∠МАС = 90°, по теореме Пифагора
МС = √(МА² + АС²) = √(25 + 288) = √313 см
ответ: МА = 5 см, МС = √313 см, МВ = MD = 13 см