Question

Даны две точки: m, лежащая в плоскости oxz, и p (1; 2; 1), причем абсцисса точки m равна ее аппликате. прямая pm составляет с плоскостью xoy угол 30 градусов. найдите координаты точки m.

Answer 1

Обозначим абсциссу точки М х. Тогда
М (х ; 0 ; х).
Р (1 ; 2 ; 1)
Координаты вектора РМ ( x - 1 ; - 2 ; x - 1).

N - проекция точки Р на плоскость XOY.
N (1 ; 2 ; 0)
Координаты вектора NP (0 ; 0 ; 1)

Прямая РМ составляет с плоскостью XOY угол 30°, значит угол между векторами РМ и NP  равен 60° или 120°.

↑PM · ↑NP = (x - 1) · 0 + (- 2) · 0 + (x - 1) · 1 = x - 1
|↑PM| = √((x - 1)² + 4 + (x - 1)²) = √(2(x - 1)² + 4)
|↑NP| = √(0² + 0² + 1²) = 1

1) cos60° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|)
1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4)
2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                         
ОДЗ: x - 1 ≥ 0
          х ≥ 1
4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4
(x - 1)² = 2
x - 1 = √2              x - 1 = - √2
x = √2 + 1              x = - √2 + 1 - не входит в ОДЗ
M (√2 + 1 ; 0 ; √2 + 1)

2) cos 120° = (↑PM · ↑NP) / (|↑PM| · |↑NP|)
- 1/2 = (x - 1) / √(2(x - 1)² + 4)
- 2(x - 1) = √(2(x - 1)² + 4)                         
ОДЗ: x - 1 ≤ 0
          х ≤ 1
4(x - 1)² = 2(x - 1)² + 4
(x - 1)² = 2
x - 1 =  - √2              x - 1 = √2
x = - √2 + 1              x = √2 + 1 - не входит в ОДЗ
M (- √2 + 1 ; 0 ; - √2 + 1)