Объяснение:
Дана правильная треугольная пирамида. Её высота Н равна a√3, радиус окружности, описанной около её основания, равен 2a.
Найти: а) апофему А пирамиды.
Радиус R окружности, описанной около её основания, равен 2/3 высоты основания, то есть R = в√3/3, где в - сторона основания.
Находим сторону основания: в = R/(√3/3) = R√3 = 2a√3.
Отсюда апофема равна: А = √(Н² + (R/2)²) = √(3a² + a²) = √4a² = 2a.
Величина R/2 равна 1/3 высоты основания или радиусу вписанной окружности в основание.
б) угол α между боковой гранью и основанием равен:
α = arc tg(H/(R/2)) = arc tg(a√3/a) = arc tg√3 = 60 градусов.
в) площадь Sбок боковой поверхности.
Периметр основания Р = 3в = 3*2a√3 = 6a√3.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(6a√3)*2а = 6a²√3 кв.ед.
г) плоский угол γ при вершине пирамиды(угол боковой грани).
γ = 2arc tg((в/2)/А) = 2arc tg((2а√3/2)/2а) = 2arc tg(√3/2) ≈ 1,42745 радиан или 81,7868 градуса.
см рис. во вложении. Обозначим середину ВС точкой К. Известно, что угол, опирающийся на диаметр является прямым. Для данного треугольника угол ВКМ - прямой. Медиана совпадает с высотой в равнобедренном треугольнике, значит МС=МВ и диаметр описанной окружности в два раза больше диаметра заданной, потому что точка М является центром описанной окружности треугольника. МК - срединный перпендикуляр и МТ тоже срединный перпендикуляр. Это видно из второго рисунка, там показаны конгруэнтные треугольники. В пересечении срединных перпендикуляров находится центр описанной окружности. А можно и еще проще рассуждать: ВМ = МС = 3, АМ = МС = 3. Расстояние от точки М до вершин треугольника АВС равное, значит М - центр описанной окружности.
ответ диаметр равен 6.
Высота ВМ = 9 см, отрезок АМ = 12 см.
Так как треугольник АВМ прямоугольный, то по Пифагору находим боковую сторону.
АВ = АС = √(ВМ² + АМ²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
Тогда площадь S = (1/2)BM*AC = (1/2)*9*15 = 67,5 см².
Из прямоугольного треугольника ВМС находим основание ВС:
ВС = √(ВМ² + СМ²) = √(9² + (15 - 12)²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.
Периметр Р = 2*15 + 3√10 = 30 + 3√10 = 3(10 + √10) ≈ 39,487 см.