Т.к. АВСД - ромб, то у него все стороны равны, диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся по-полам. АО=ОС; ВО=ОД=3см (6/2).
Прямая ОК перпендикулярна плоскости, значит и перпендикулярна всем прямым на этой плоскости. ОК перпендикулярна прямым ВД и АС.
Рассмотрим треугольник АОВ - прямоугольный. По теореме Пифагора
АО= sqrt(АВ^2- ВО^2)=sqrt(25-9)=4см
Опускаем наклонные из точки К к прямым АО и ВО.
Из треугольника АОК- прямоугольного по теореме Пифагора АК=sqrt(64+16)=sqrt(80)= 4sqrt(5)/
Из треугольника ВКО - прямоугольного, ВК= sqrt(64+9)=sqrt(73) см
ОТВЕТ:sqrt(80); sqrt(73).
обозначаем длину AO за x, получаем два прямоугольных треугольника AOB и AOD. В котором роль общего катета играет AO, гипотенузы (наклонные) известны, а OB и OD могут быть найдены по теореме Пифагора:
OB = корень(AB^2 - x^2) = корень(15*15-x*x)
OD = корень(AD^2 - x^2) = корень(20*20-x*x)
их отношение известно, то есть можем составить уравнение
корень(15*15-x*x)/корень(20*20-x*x) = 9/16
Попробуем преобразовать это уравнение и решить:
(1) возводим в квадрат обе стороны
(15*15-x*x)/(20*20-x*x) = (9*9)/(16*16)
умножаем на (20*20-x*x) и (16*16)
(16*16)*(15*15-x*x) = (9*9)*(20*20-x*x)
раскрываем скобки
16*16*15*15 - 16*16*x*x = 9*9*20*20 - 9*9*x*x
прибавляем к обеим сторонам 16*16*x*x - 9*9*20*20
16*16*15*15 - 9*9*20*20 = 16*16*x*x - 9*9*x*x
или
(16*16 - 9*9)*x*x = 16*16*15*15 - 9*9*20*20
окончательно:
x*x = (16*15 - 9*20)*(16*15 + 9*20)/(16-9)(16+9) = 25*9*16(4-3)*(4+3)/(7*25) = 9*16 = 144
или
x = 12 см - длина AO
