Question

Найти площадь боковой поверхности цилиндра, образованного при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону, если периметр прямоугольника 24 и угол между диагоналями 60 градусов

Answer 1

Цилиндр прямой.

Sбок = 2π·rh, где r - радиус окружности основания, h-высота цилиндра (площадь вычисляется по развёртке)

r+h=24; <=>r=24-h;

по теореме cos r²=2·(d/2)²-d/2cos60=d/2-d/4=d/4 , d - диагональ прямоугольника

по теореме cos h²=2·(d/2)²-d/2cos(180-60)=d/2+d/4=d·3/4;

$\frac{r^2}{h^2}=3$

$r=h\sqrt{3}=24-h$

$h=\frac{24}{\sqrt{3}+1};$

$r=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1};$

$hr=\frac{192\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)^2}=\frac{96\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=96\sqrt{3}(2-\sqrt{3})=\\ =192\sqrt{3}-288$

$S = 2\pi(192\sqrt{3}-288)$