В прямоугольный ΔАВС, ∠С=90 вписан круг .Биссектриса ∠А делит катет в отношении CD:DB=3:5. Найдите площадь круга
Решение Площадь круга S= πr² .Радиус вписанной окружности найдем из формулы S=1/2*P*r .
1) Тк " биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника" , то CD:СА=ВD:АВ или 3:СА=5:АВ ⇒ , а это по определению sinB .
2) По основному тригонометрическому тождеству
sin²B+cos²B=1 получаем cosB=√(1- )=
3) cosB= или
⇒ AB=10.
По т Пифагора АС=√(АВ²-ВС²)=√(100-64)=6
4) S=1/2*P*r
1/2*BC*AC=1/2*(AB+BC+AC)*r
1/2*8*6=1/2*24*r ⇒ r=2 ед
S(круга)=π*2²=4π (ед²)
в треугольнике ABC AM = sqrt(3), тогда A1M равно sqrt(12)
прямая B1C лежит в плоскости BB1C1C, чтобы найти косинус угла между прямой A1M и B1C достаточно найти угол между A1M и плоскостью BB1C1C.. поэтому из точки M проводим перпендикуляр MM1 к стороне B1C1. и в треугольнике A1M1M cos(A1MM1) = MM1/A1B = 3/sqrt(12)