Равнобедренный треугольник abc (ab =bc) вписан в окружность. диаметр cd пересекает сторону ab в точке m такой, что bm = k *ma. найти отношение dm : mc.
В треугольнике АВС: BC=AB=BM+MA=k*MA+MA=MA(k+1) (дано). В треугольнике МВС имеем: MB/BC=MO/OC (так как ВО - биссектриса <ABC). Или k*MA/MA(k+1)=MO/OC, или MO/OC=k/k+1. Отсюда MO=k*R/(k+1), так как ОС=R. DM=R-MO=R-k*R/(k+1)=[R(k+1)-kR]/(k+1)=R(k+1-k)/(k+1)=R/(k+1). MC=R+MO=R+k*R/(k+1)=[R(k+1)+kR]/(k+1)=R(k+1+k)/(k+1)=R(2k+1)/(k+1). Тогда DM/MC=(R/(k+1))/(R(2k+1)/(k+1))=1/2k+1. ответ: DM:MC=1/(2k+1).
Вариант решения. Проведем высоту ВН ( которая в равнобедренном треугольнике является и медианой) к АС. Т.к. ВН - срединный перпендикуляр к АС , то центр описанной вокруг ∆ АВС окружности лежит на ВН, и точка О пересечения ВН и диаметра DС - центр данной окружности. Проведем отрезок АD. Треугольник DАС - прямоугольный (∠DАС опирается на диаметр) DА ⊥АС, ВН ⊥ АС ⇒ DА || ВН ∠ DАВ=∠ АВО как накрестлежащие при параллельных прямых AD и BH и секущей АВ . Углы при М равны как вертикальные ⇒ ∆ АМD подобен ∆ МВО по трем углам ⇒ DМ:МО=АМ:МВ=1/k ⇒ MO=DM*k МС=ОС+МО ОС=DМ+МО=DМk+DМ МС=DМk+DМ+DМk=2DМk+DМ=DМ(2k+1) DМ:МС=DМ:DМ(2k+1)=1/(2k+1)
Нарисуй чертеж ВМ=МС=а AN=ND=b (это обозничили мы так) треугольники APN и MPB подобны с коэффициентом b/a,и высоты тоже
треуг. NQD и CQM подобны с тем же коэфф b/a и высоты тоже. но если у треуг. APN и NQD AN=ND, то и высоты равны. Т.е. точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от AD что и требовалось доказать.
если по поводу высот , что они равны , непонятка, то это следует из того, что отношения высот малого и большого треуг. равно одному и тому же коэффициенту, а сумма этих высот постоянна (высота трапеции)
Пирамида имеет в основании квадрат или правильный треугольник?
1. поверхность грани 96/4=24 длина стороны основания 24/4=6 апофема равна высоте к стороне основания, апофему обозначим а
0,5*6*а=24 а=24/3=8
2. поверхность 96/3=32 сторона основания 24/3=8 0,5*8*а=32 а=32/4=8
видим равенство апофем, более детально - пусть n боковых граней, s = 96/n сторона основания 24/n 0.5*24/n*a=96/n 12a=96 a=8
видим, что можно дать другие числа, а не 96 и 24 и посчитать апофему, она не будет зависеть от числа сторон правильной пирамиды, а только от конкретных значений площади боковых граней и периметра основания.
BC=AB=BM+MA=k*MA+MA=MA(k+1) (дано).
В треугольнике МВС имеем: MB/BC=MO/OC (так как ВО - биссектриса <ABC).
Или k*MA/MA(k+1)=MO/OC, или MO/OC=k/k+1.
Отсюда MO=k*R/(k+1), так как ОС=R.
DM=R-MO=R-k*R/(k+1)=[R(k+1)-kR]/(k+1)=R(k+1-k)/(k+1)=R/(k+1).
MC=R+MO=R+k*R/(k+1)=[R(k+1)+kR]/(k+1)=R(k+1+k)/(k+1)=R(2k+1)/(k+1).
Тогда DM/MC=(R/(k+1))/(R(2k+1)/(k+1))=1/2k+1.
ответ: DM:MC=1/(2k+1).