В треугольнике АВС: BC=AB=BM+MA=k*MA+MA=MA(k+1) (дано). В треугольнике МВС имеем: MB/BC=MO/OC (так как ВО - биссектриса <ABC). Или k*MA/MA(k+1)=MO/OC, или MO/OC=k/k+1. Отсюда MO=k*R/(k+1), так как ОС=R. DM=R-MO=R-k*R/(k+1)=[R(k+1)-kR]/(k+1)=R(k+1-k)/(k+1)=R/(k+1). MC=R+MO=R+k*R/(k+1)=[R(k+1)+kR]/(k+1)=R(k+1+k)/(k+1)=R(2k+1)/(k+1). Тогда DM/MC=(R/(k+1))/(R(2k+1)/(k+1))=1/2k+1. ответ: DM:MC=1/(2k+1).
Сделаем рисунок для наглядности. Дана площадь параллелограмма со сторонами АВ=4 и АД=5. S=16 Найдем высоту ВН параллелограмма к стороне АД S=ah 16=5h ВН=16:5=3,2 Опустим из вершины С высоту СК к продолжению АД. НВСК - прямоугольник. НК=ВС=5 АС - большая диагональ параллелограмма. Треугольник АСК - прямоугольный. АК=АД+ДК ДК²=СД²-СК² ДК²=16-10,24=5,76 ДК=2,4 АС²=(АД+ДК)²+СК² АС²=(7,4)²+(3,2)²=65 АС=√65 =≈8,06≈8 АН=ДК=2,4 ДН=5-2,4=2,6 ВД²=ВН²+НД² ВД²=(3,2)²+(2,6)²=17 ВД=√17 ≈4,123≈4 ответ:АС≈8, ВД≈4
Площадь параллелограмма = произведению его смежных сторон на синус угла между ними S = AB · BC · sin α = 4*5* sin α =20 * sin α =16 sin α = 16/20=0,8 cos² α = 1 - sin² α = 1 - 0,8² = 1 - 0,64 = 0,36 cos α = +-0,6
Найти большую диагональ, диагональ лежащую против БОЛЬШЕГО угла ⇒ α>90 ⇒ cos α = - 0,6
В ΔАВС Квадрат стороны = сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними АС² = АВ² + ВС² -2 · АВ · ВС ·соs α =5² +4² + 2·5·4·0,6= 65 AC = √65 ≈ 8 - бОльшая диагональ параллелограмма
BC=AB=BM+MA=k*MA+MA=MA(k+1) (дано).
В треугольнике МВС имеем: MB/BC=MO/OC (так как ВО - биссектриса <ABC).
Или k*MA/MA(k+1)=MO/OC, или MO/OC=k/k+1. Отсюда MO=k*R/(k+1), так как ОС=R.
DM=R-MO=R-k*R/(k+1)=[R(k+1)-kR]/(k+1)=R(k+1-k)/(k+1)=R/(k+1).
MC=R+MO=R+k*R/(k+1)=[R(k+1)+kR]/(k+1)=R(k+1+k)/(k+1)=R(2k+1)/(k+1).
Тогда DM/MC=(R/(k+1))/(R(2k+1)/(k+1))=1/2k+1.
ответ: DM:MC=1/(2k+1).