Дано: треугольник авс- отсроугольный, угол а=45 грудусам, вс = 13 см, точка d принадлежит стороне ас, dc=5 см, bd=12 см док-ать: треугольник bdc-прямоугольный найти: площадь треугольника авс
Значит так, проверяем то что он прямоуголен через теорему Пифагора, т.е. записываем что 5^+12^=13^
25+144=169
169=169 =>следует что он прямоугольный с углом BDC в 90 градусов
Далее рассмотрим ABD, угол ADB=90градусов так как смежный с углом BDC, угол а=45, значит угол ABD=90-45=45 градусам, а значит треугольник ABD равнобедренный с одинаковыми сторонами AD и BD.
Задача решается двумя Графически и алгебраически. приложение №1): Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см. Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см. Радиус 5/2=2,5 см.
приложение №2): Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника. Радиус описанной окружности - R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол. Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей. Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β). R=СД/2sinβ=2/sinβ; R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ. Делим одно выражение на другое. 3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3 R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.
Обозначим сторону квадрата 2x. Треугольник АВЕ - равнобедренный. Высота из вершины Е на сторону АВ делит АВ пополам. Точка Е равноудалена от точек А и В и лежит на серединном перпендикуляре к АВ, АВ || СD Поэтому точка Е равноудалена от точек С и D. СЕ=√13.
Обозначим высоту треугольника АВЕ у, тогда высота равнобедренного треугольника СDE будет равна (2x-y) По теореме Пифагора х²+у²=25 х²+(2х-у)²=13
Значит так, проверяем то что он прямоуголен через теорему Пифагора, т.е. записываем что 5^+12^=13^
25+144=169
169=169 =>следует что он прямоугольный с углом BDC в 90 градусов
Далее рассмотрим ABD, угол ADB=90градусов так как смежный с углом BDC, угол а=45, значит угол ABD=90-45=45 градусам, а значит треугольник ABD равнобедренный с одинаковыми сторонами AD и BD.
Найдем площадь ABC,
AC=12+5=17, BD=12 по условию
(AC*BD)/2=(17*12)/2=102см^
ответ:102см^