Для того чтобы доказать, что четырехугольник АВСД является параллелограммом, нам нужно проверить выполнение двух условий: противоположные стороны параллельны и равны, а также противоположные углы равны.
1. Проверим, являются ли противоположные стороны параллельными и равными.
Для этого расчитаем коэффициенты наклона прямых, проходящих через противоположные стороны:
AB: Мы можем использовать формулу для вычисления коэффициента наклона прямой, которая определена двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂): m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
В нашем случае, для AB, точка A (-12, 6) и точка B (0, 11):
m₁ = (11 - 6) / (0 - (-12)) = 5 / 12
CD: Используем ту же формулу для вычисления коэффициента наклона прямой, проходящей через точки C (5, -1) и D (-7, -6):
m₂ = (-6 - (-1)) / (-7 - 5) = -5 / 12
AC: Формула для коэффициента наклона прямой, проходящей через точки A (-12, 6) и C (5, -1):
m₃ = (-1 - 6) / (5 - (-12)) = -7 / 17
BD: Коэффициент наклона прямой, проходящей через точки B (0, 11) и D (-7, -6):
m₄ = (-6 - 11) / (-7 - 0) = -17 / 7
Теперь сравним значения коэффициентов наклона:
m₁ = 5/12, m₂ = -5/12, m₃ = -7/17, m₄ = -17/7
Мы видим, что m₁ = m₂ и m₃ = m₄, что означает, что противоположные стороны AB и CD параллельны и равны.
2. Проверим, являются ли противоположные углы равными.
Для этого воспользуемся фактом, что если две прямые параллельны, то соответственные углы равны.
Угол A и угол C: Используем теорему о параллельных прямых и трасверсали. Если угол A и C являются внутренними (или наружными) углами по одну сторону от пересекаемой прямой, то они равны(опровергается заменой исходных данных на точки, для которых условие неверно):
Угол A: -12<0 6>0 0>-12 11>6
Угол C: 5>0 -1<0 0>5 -6>-1
Таким образом, угол A и угол C являются внутренними углами по одну сторону от параллельных сторон AB и CD, и следовательно, они равны.
Угол B и угол D: Также применяем теорему о параллельных прямых и трасверсали для угла B и угла D:
Угол B: 0>5 11>-1 -7>0 6>11
Угол D: -7<5 -6>-1 0>-7 11>6
Угол B и угол D также являются внутренними углами по одну сторону от параллельных сторон AB и CD, и следовательно, они равны.
Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны параллельны и равны, а также противоположные углы равны. Следовательно, четырехугольник АВСД является параллелограммом.
Для доказательства, что данные прямые параллельны, мы должны показать, что углы, образованные секущими, являются соответственными углами. Дано, что разность односторонних углов равна 36 градусам, а их отношение равно 3:2.
Для начала, представим, что углы, образованные секущими, это А, В, С и D. Пусть углы А и D образованы первой секущей, а углы В и С - второй секущей.
Из условия задачи известно, что А - D = 36 градусов и А/В = 3/2.
1. Докажем, что угол D равен углу В.
Из условия задачи известно, что разность углов А и D равна 36 градусам. Если мы выразим угол D через угол В, то получим D = A - 36.
Также известно, что отношение углов А и В равно 3/2, что означает, что A/B = 3/2. Если мы выразим угол D через угол В, то получим D = (3/2)B.
Приравнивая два выражения для D, получим A - 36 = (3/2)B.
Здесь мы видим, что угол D равен углу B.
2. Докажем, что угол А равен углу С.
Также, из условия задачи, мы можем выразить угол А через угол С. Из вышеуказанного условия, что угол D равен углу В, получим A = D + 36.
Также известно, что отношение углов А и В равно 3/2, что означает, что A/B = 3/2. Если мы выразим угол А через угол С, то получим D + 36 = (3/2)C.
Здесь мы видим, что угол А равен углу С.
Итак, мы показали, что углы D и B равны, и углы A и C равны. Это означает, что углы, образованные секущими, являются соответственными углами, что прямые, образованные этими секущими, параллельны друг другу.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия этих треугольников.
S ᐃ ABC:S ᐃ CDE =( AB:CD)²