ответ: АН=35см; СН=5см
Объяснение: обозначим данные вершины А В С, а расстояние от точки до плоскости ВН. Так как расстоянием от точки к плоскости является перпендикуляр, то ВН перпендикулярно плоскости. У нас получился треугольник АВС с высотой ВН. ВН делит ∆АВС на 2 прямоугольных треугольника АВН и СВН, в которых наклонные АВ и ВС - гипотенуза, а ВН и АН и СН- катеты, причём АН и СН являются проэкция и на плоскость, найдём их по теореме Пифагора: АН²=АВ²-ВН²=37²-12²=
=1369-144=1225; АН=√1225=35см
СН ²=АВ²-ВН²=13²-12²=169-144=25;
СН=√25=5см
Из точки О построим перпендикуляры ОК, ОН, ОК к прямым АВ, ВС и АС.
Треугольники ОВК и ОВН прямоугольные и равны, так как гипотенуза ОВ у них общая, а угол ОВН = ОВК, так как ВО биссектриса, тогда ОК = ОН.
Аналогично треугольник ОСН = ОСМ, а тогда ОМ = ОН.
Следовательно ОК = ОН = ОК, а значит через точки К, Н, С можно провести окружность с центром в точке О.
Треугольники АКО и АМО прямоугольные, у которых ОК = ОМ как радиусы окружности, АО общая гипотенуза, тогда треугольники равна по катету и гипотенузе. Следовательно, угол КАО = МАО, а АО биссектриса угла ВКМ и ВАС, что и требовалось доказать.