Question

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

Answer 1

Найдём радиус описанной окружности. Длина стороны равна 45:3=15 см. Длина радиуса равна 2/3 медианы треугольника. Медиана этого треугольника равна стороне треугольника умноженной на синус 60 градусов

$15*\sin 60^0=15* \frac{ \sqrt{3}}{2}= \frac{15 \sqrt{3} }{2}$ см

$R= \frac{15 \sqrt{3} }{2} \frac{2}{3}=5 \sqrt{3}$ см

Если поделить восьмиугольник на 8 треугольников, то угол, у центра окружности будет составлять 360⁰:8=45⁰. 

Треугольник равнобедренный, так как две его стороны от центра круга равны R.  Угол между ними равен 45⁰. Противолежащая сторона и будет стороной восьмиугольника. Применим теорему косинусов для нахождения искомой стороны

$a^2=15^2+15^2-2*15*15*\cos 45^0=2*15^2-2*15^2 \frac{ \sqrt{2}}{2}=$

$=2*15^2-15^2*\sqrt{2}=(2- \sqrt{2} )*15^2$

$a= \sqrt{2- \sqrt{2} } *15$см

ответ: сторона восьмиугольника равна $\sqrt{2- \sqrt{2} } *15$см