Question

Дано: δabc, ab=bc, bd⊥ac, od/ob=3/5, ab=10. найти: r ( радиус вписанной окружности) решение:

Answer 1

Так как известно отношение OD/OB=3/5, то можно обозначить OD=3x (OD=r - значит, 3х - искомый радиус), OB=5x, следовательно BD=8х. Также обозначим АС=а.

Площадь треугольника равна половине произведение его периметра на радиус вписанной окружности:
$S= \frac{1}{2} Pr\Rightarrow r= \frac{2S}{P}$

С другой стороны площадь можно найти как половина произведения основания на высоту:
$S= \frac{1}{2} \cdot AC\cdot BD$
Тогда выражение для радиуса вписанной окружности примет вид:
$r= \frac{AC\cdot BD}{P}$

Подставим в последнее выражения все ранее введенные обозначения и известные числовые данные:
$r=\frac{a\cdot 8x}{a+10+10}$
Зная, что r=3x, получим:
$3x=\frac{8ax}{a+20} \\\ 3=\frac{8a}{a+20} \\\ 8a=3a+60 \\\ 5a=60 \\\ a=12 \\\ AC=12$

Рассмотрим треугольник АВD: AD есть половина АС, так как BD - высота (следовательно и медиана) равнобедренного треугольника. По теореме Пифагора получим:
$AB^2=( \frac{AC}{2} )^2+BD^2 \\\ 10^2=6^2+(8x)^2 \\\ 100=36+64x^2 \\ 64=64x^2 \\\ x^2=1 \\\ x=1, \ x \neq -1$

Теперь можно найти радиус вписанной окружности:
$r=3x=3\cdot1=3$

ответ: 3