Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1}. Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²). cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. В нашем случае: Вектор PS(-1-3;3-0) или PS(-4;3) |PS|=√((-4)²+3²)=5. Вектор SQ(-4-(-1);-1-3) или SQ(-3;-4) |SQ|=√((-3)²+(-4)²)=5. Вектор QT(0-4;-4-(-1)) или QT(-4;-3) |QT|=√((-4)²+(-3)²))=5. Вектор PT(0-3;-4-0) или PT(-3;-4) |PT|=√((-3)²+(-4)²))=5. Итак, четырехугольник PSQT параллелограмм (так как его противоположные стороны попарно равны. А поскольку все его стороны равны, то это или ромб, или квадрат. Найдем один из углов четырехугольника между сторонами PS и PT (этого достаточно). cosα=(Xps*Xpt1+Yps*Ypt)/[√(Xps²+Yps²)*√(Xpt²+Ypt²)]. Или cosα=((-4)*(-3)+3*(-4))/(5*5)=0/25=0. Следовательно, этот угол прямой. А так как "если в параллелограмме все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол, то это квадрат", делаем вывод: четырехугольник PSQT - квадрат, что и требовалось доказать.
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1}. Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²). У нас |PS|=√[(-1-3)²+(3-0)²]=√25=5. |SQ|=√[(-4+1)²+(-1-3)²]=√25=5. |PT|=√[(0-3)²+(4-0)²]=√25=5. Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение: (a,b)=x1*x2+y1*y2. У нас (PS*SQ)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора PS и SQ перпендикулярны. (PS*PT)=(-4)*(-3)+3*4=24, то есть вектора PS и SQ НЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. Видимо, в условии ошибка. Точка Т должна иметь координаты Т(0;-4). И тогда вектор |PT|= √[(0-3)²+(-4-0)²]=√25=5. (PS*PT)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора PS и PT перпендикулярны. Этого достаточно, чтобы сказать, что четырехугольник PSQT - квадрат. Но для проверки координат точки Т(0;-4) найдем модуль вектора |QT|=√[(0+4)²+(-4+1)²]=√25=5. (SQ*QT)=(-3)*(4)+(-4)*(-3)=0, то есть вектора PS и PT перпендикулярны. ответ: четырехугольник PSQT квадрат, при условии, что вершины имеют координаты: P(3;0), S(-1;3), Q(-4;-1), Т(0;-4).
