Только потому, что налажал в комментариях.
См. чертеж.
1) строится заданный угол φ, на чертеже это угол с вершиной в точке K. Проводится биссектриса и перпендикулярная ей прямая KE. Строится в общем произвольный отрезок BE, концы которого расположены как на чертеже.
Смысл в том, что из точки K отрезок BE виден под углом 90° + φ/2.
2) на отрезке BE от точки B откладывается заданная сторона a, получается точка C. Проводится CG II KE.
Теперь заданная сторона BC = a видна из точки G под углом 90° + φ/2.
3) строится описанная окружность треугольника BCG.
Эта процедура всем известна, я её на чертеже не отображаю, тем более, что GeoGebra строит её автоматически.
4) от точки C во вне отрезка BC откладывается заданная разность d, получается точка D, то есть CD = d. Отрезок BD делится пополам, так находится точка J (то есть BJ = JD).
5) из точки J проводится перпендикуляр к BC до пересечения с окружностью (BGC) в точке I.
I - центр вписанной окружности искомого треугольника
6) проводится окружность с центром I и радиусом IJ.
вписанная окружность.
7) проводятся две окружности - с центром B и радиусом BJ и центром в C и радиусом CJ. Так находятся точки пересечения этих окружностей с вписанной окружностью - точки F и H.
Они же - точки касания боковых сторон.
8) проводятся BF и CH до пересечения в точке A.
ABC - искомый треугольник.
Даны угол β, отрезок d=c-a и сторона b. Исследование. Если на стороне c=AB нанести точку D такую, что BD=a, то AD=c-a=d, а угол ADC=90°+B/2 (это следует из того, что треугольник DBC равнобедренный, углы при его основании DC равны 90°-B/2). Эти соображения позволяют провести нужные построения.
Проводим дугу окружности с хордой b=AC, вмещающую угол 90+β/2, и отсекаем на ней хорду AD=d. Продолжая AD за точку D до пересечения с дугой окружности, построенной на AC и вмещающей угол β, находим третью вершину искомого треугольника.
по т. Пифагора ВД^2=АВ^2-АД^2=225
ВД=15
ДС^2=АС^2-АД/2=36
ДС=6 tg ACD=AD/CD=8/6=4/3 cos ACD=CD/AC=6/10=3/5