Вправильной треугольной пирамиде sabc с основанием abc все ребра равны 6. а) постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину s и перпендикулярной отрезку ab и bc. б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани sab.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер AB и BC. б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB. ---------------------- Все ребра данной пирамиды равны. ⇒ все ее грани - равные правильные треугольники. По условию ВМ=МА; ВN=NC⇒ MN - средняя линия ∆ АВС. MN=AC:2=3 Искомая плоскость - осевое сечение пирамиды, перпендикулярное её основанию, т.е. ∆ SBH. SO- высота пирамиды; ВН -высота ∆ АВС. SM=SN- (апофемы равных граней равны.) ⇒ ∆ MSN- равнобедренный. BH⊥ MN и пересекает её в точке Р. SP- высота и медиана ∆ SMN. МР=PN=1,5 Пусть Е - центр грани SAB. По свойству правильного треугольника его центр - точка пересечения его медиан ( биссектрис, высот). Точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника ⇒ SE= 2/3 SM. SM=SA*sin(60º)=6*√3/2 SM=3√3 SE=2√3 Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикулярного ей отрезка. Проведем ЕТ параллельно MN. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ⇒ ЕТ перпендикулярен плоскости SBH Рассмотрим ∆ SPМ и ∆ SKE (см. второй рисунок - нагляднее). ЕК||МР, угол при вершине S общий, угол SEK= углу SMP ⇒ ∆ SPМ ~ ∆ SKE Из их подобия следует отношение SE:SM=EK:MP EK=SE*MP:SM EK=2√3)*1,5:3√3 =1 ответ: расстояние от плоскости сечения до центра грани SAB равно 1(ед. длины).
1) В данном случае диагональ квадрата - это и есть диаметр описанной окружности и равен двум радиусам:
2) В этом случае, наоборот, сторона квадрата - это диаметр вписанной окружности, а радиус равен половине диаметра (или стороны): см
3) Смотрим третий рисунок: ABCD - прямоугольник, АВ=15, О - точка пересечения диагоналей, ∠АОВ=60° Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит АО=ОВ, то есть ΔАОВ - равнобедренный. Но если угол при вершине равен 60°, то и углы при основании равны: Значит ΔАОВ - равносторонний, АО=ОВ=ВС=15 см. Радиус описанной окружности в данном случае равен половине диагонали, то есть АО или ОВ: см
1) В данном случае диагональ квадрата - это и есть диаметр описанной окружности и равен двум радиусам:
2) В этом случае, наоборот, сторона квадрата - это диаметр вписанной окружности, а радиус равен половине диаметра (или стороны): см
3) Смотрим третий рисунок: ABCD - прямоугольник, АВ=15, О - точка пересечения диагоналей, ∠АОВ=60° Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит АО=ОВ, то есть ΔАОВ - равнобедренный. Но если угол при вершине равен 60°, то и углы при основании равны: Значит ΔАОВ - равносторонний, АО=ОВ=ВС=15 см. Радиус описанной окружности в данном случае равен половине диагонали, то есть АО или ОВ: см
см
см 
см
см 
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер AB и BC.
б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.
----------------------
Все ребра данной пирамиды равны. ⇒ все ее грани - равные правильные треугольники.
По условию ВМ=МА; ВN=NC⇒
MN - средняя линия ∆ АВС.
MN=AC:2=3
Искомая плоскость - осевое сечение пирамиды, перпендикулярное её основанию, т.е. ∆ SBH.
SO- высота пирамиды; ВН -высота ∆ АВС. SM=SN- (апофемы равных граней равны.) ⇒
∆ MSN- равнобедренный.
BH⊥ MN и пересекает её в точке Р.
SP- высота и медиана ∆ SMN.
МР=PN=1,5
Пусть Е - центр грани SAB.
По свойству правильного треугольника его центр - точка пересечения его медиан ( биссектрис, высот).
Точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника ⇒
SE= 2/3 SM.
SM=SA*sin(60º)=6*√3/2
SM=3√3 SE=2√3
Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикулярного ей отрезка. Проведем ЕТ параллельно MN.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ⇒
ЕТ перпендикулярен плоскости SBH
Рассмотрим ∆ SPМ и ∆ SKE (см. второй рисунок - нагляднее).
ЕК||МР, угол при вершине S общий, угол SEK= углу SMP ⇒
∆ SPМ ~ ∆ SKE Из их подобия следует отношение
SE:SM=EK:MP
EK=SE*MP:SM
EK=2√3)*1,5:3√3 =1
ответ: расстояние от плоскости сечения до центра грани SAB равно 1(ед. длины).