Для укрепления равнобедренной цирковой трапеции с основаниями 1,5м и 0,75м на нее ставят диагональные перемычки. в каком отношении, считая от меньшего основания, точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую перемычку?
Т.к. угол при основании равен 60°, то проводя высоту и получая прямоугольный треугольник, второй угол равен 30°. Тогда часть большего основания, лежащего напротив этого угла, равна 12/2 = 6, т.е. её половине. Аналогично и с другой стороной трапеции (т.к. она равнобедренная, то будет то же самое). Теперь по теореме Пифагора найдём высоту: h = √(12²-6²) = √(144-36) = √108 = 6√3. Теперь найдём всю длину большего основания: Две части мы нашли (они равны по 6 см), а третья часть равна меньшему основанию, т.к. высоты образуют прямоугольник, а в прямоугольнике противоположные стороны равны. Тогда большее основание равно 6 + 6 + 24 = 36. Теперь находим площадь по формуле S = 1/2(a+b)•h S = 1/2(24+36)•6√3 = 30•6√3 = 180√3.
На основании свойства касательных из одной точки к окружности обозначим катеты 3+r и 4+r. По Пифагору (3+r)² + (4+r)² = 7². 9+6r+r²+16+8r+r² = 49. 2r² + 14r - 24 = 0 сократим на 2: r² + 7r - 12 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно r: Ищем дискриминант: D=7^2-4*1*(-12)=49-4*(-12)=49-(-4*12)=49-(-48)=49+48=97; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: r_1=(√97-7)/(2*1)=√97/2-7/2=√97/2-3,5 ≈ 1,42443; r_2=(-√97-7)/(2*1)=-√97/2-7/2=-√97/2-3,5 ≈ -8,42443 отрицательное значение не принимаем. Катеты равны 3+1,42443 = 4,42443 и 4+1,42443 = 5,42443. Теперь находим искомую площадь треугольника: S = (1/2)*4,42443*5,42443 = 12 см².
