1) Рассмотрим треугольники АОС и ДОВ. Угол АОС равен углу ДОВ, так как они вертикальные. АО = ОВ (так как О - середина АВ) ОС=ОД (так как О - середина СД), ⇒ Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон АС и ВД. 2) Рассмотрим треугольники СОВ и АОД. Угол СОД равен углу АОД, так как они вертикальные. СО = ОД (по доказанному) ОВ = ОД (по доказанному), ⇒ Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон СВ и АД. 3) Рассмотрим треугольники АСВ и ВДА. АВ - общая сторона. АС = ВД (по доказанному) ВС = АД (по доказанному), ⇒ Треугольники равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников), что и требовалось доказать.
Задача элементарная, но мне захотелось написать "совершенно" формальное решение. Пусть центр квадрата P, середина (это так надо перевести слово "серебро" в контексте задачи :)) BC - M. Ясно, что центр окружности лежит на прямой, параллельной BC и AD и проходящей через середину MP - точку K. Пусть эта прямая пересекает AB в точке N. Поскольку окружность симметрична относительно KN, то PK и AN - это половины хорд, перпендикулярных линии KN, проходящей через центр. Ясно, что AN = 3a/4; PK = a/4; NK = a/2; где a - сторона квадрата. Расстояние до хорды связано с радиусом и половиной длины хорды теоремой Пифагора. Разность расстояний от центра до ПОЛУхорд AN и PK равна NK; Если обозначить радиус окружности R, то √(R^2 - (a/4)^2) - √(R^2 - (3a/4)^2) = a/2; пусть 4R/a = x; тогда √(x^2 - 1) = √(x^2 - 9) + 2; x^2 - 1 = x^2 - 9 + 4√(x^2 - 9) + 4; x^2 - 9 = 1; x = √10; ну, и 4/a = 2; R = √10/2;
Разумеется, это простое упражнение на координатный метод. По сути надо найти окружность, проходящую через точки (0,1) (0,-1) и (-2,-3) для квадрата со стороной 4; Центр в точке (b,0) b^2 + 1 = R^2; (b + 2)^2 + 3^2 = R^2; b = -3; R = √10; это результат для квадрата со стороной a =4; то есть при a = 2; R = √10/2;
Дана окружность с центром O. Хорда AB=24см и OH=9см, где OH⊥AB, H∈AB.
OA=OB - как радиусы одной окружности, поэтому ΔAOB - равнобедренный (АВ - основание).
Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника является и медианой, поэтому AH=HB=AB:2=24:2=12 см
В прямоугольном ΔOHB (∠H=90°): OH=3·3см, HB=3·4см значит, по Египетскому треугольнику OB=3·5=15 см.
ОВ - радиус, ОВ=15см.
ответ: 15см.