Теорема. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза AO общая, а катеты OD и OE равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и OAE. А это значит, что точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведённой из вершины A. Точно так же доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.
Объяснение:
Обозначим стороны как а, b и с. Нужно доказать, что a·b=c²/2.
tg15=a/b ⇒a=b·tg15
Из таблицы тригонометрических функций узнаём, что tg15=2-√3.
Пусть а=х, тогда b=х(2-√3)
a·b=x²(2-√3).
По теореме Пифагора с²=а²+b²
c²=x²+x²(2-√3)²=x²+4x²-4x²√3+3x²=8x²-4x²√3=4x²(2-√3).
Таким образом a·b=c²/4, что противоречит требованию доказать в условии задачи.
ответ: доказано, что утверждение задачи ошибочно.