Окружность с центром в точке o касается сторон ab, bc, ac треугольника abc в точках k, m, n. (отношение) дуга km: дуга mn: дуга nk=6: 5: 7. найдите углы треугольника abc. сделайте ! это из одного из билетов для экзамена по 8 класса. заранее !
Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠C = 90°. K,M,F - точки касания со сторонами АС, АВ, ВС. ВС = 12 см.
Пусть коэффициент пропорциональности равен х, тогда AM=2x; BM=3x. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки AK = AM = 3x. BF = BM = 2x CK=CF= x
BC = BF + CF = 2x + x = 3x = 12 откуда х=4 см
АВ = АМ + ВМ = 3х + 2х = 5х = 5 * 4 = 20 см
АС = АК + СК = 3х + х = 4х = 4*4 = 16 см
Стороны прямоугольного треугольника будут 20 см, 16см и 12 см.
Радиус вписанной окружности; r = (AC+BC-AB)/2 = (16+12-20)/2 = 4 см
Мне понравился мой рисунок, так что я сделаю исключение для этой задачки. Пусть O - центр окружности, а Т - середина KN, и PT пересекает LM в точке E. Так как треугольник KPT равнобедренный, есть такая "цепочка" равных углов ∠PLM = ∠PKN = ∠KPT = ∠EPM; откуда ясно, что в треугольнике LMP PE - высота. То есть - другими словами - получилось, что если через точку P пересечения диагоналей провести прямую перпендикулярно LM, то она пройдет через середину KN - точку T; Точно так же через точку P можно провести прямую перпендикулярно KN, и она пройдет через середину LM - точку Q. Легко видеть, что OQPT - параллелограмм. Так как OQ тоже перпендикулярно LM, а OT перпендикулярно KN. То есть OQ II PT; OT II PQ; Следовательно OT = PQ = LN/2; (PQ - медиана прямоугольного треугольника LMQ)
пусть х-коэффициент отношения. Хорды КМ, МN, KN стягивают соответственные дуги. Тогда дуга КМ=6х, дуга MN=5x, дуга NK=7x,
6х+5х+7х=360градусов, 18х=360град, х=20 град.
дуга КМ=6*20=120град, дуга MN =5*20=100 град, дуга NK=7*20=140 град
угол между касательными, проведёнными из одной точки равен половине разности большей и меньшей дуг, находящихся между сторонами угла, поэтому
угол В=дуга КNM-дуга KM=(140+100-120):2=60град
угол С=дугаNKM-дугаNM=(120+140-100):2=80град
угол А=дуга NMK-дуга NK=(100+120-140):2=40град
2)каждая хорда делится двумя точками на 3 равные части, значит они равны между собой. 12:3=4 см каждая часть Периметр треугольника КМN=3*4=12
как то так