В прямоугольный ΔАВС вписан квадрат КНМЕ (КН=НМ=ЕМ=КЕ) так, что две его вершины Н и М лежат на гипотенузе АВ, а две другие К и Е - на катетах АС и ВС соответственно. а) Цент квадрата О - это точка пересечения диагоналей квадрата КМ и НЕ. Т.к. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то <КОЕ=90°, КО=ОЕ. По условию <АСВ=90°, значит отрезок КЕ виден из точек С и О под прямым углом, следовательно точки С и О лежат на окружности диаметра КЕ. Вписанные углы КCO и ЕCO опираются на равные дуги этой окружности КО и ОЕ, значит они равны, а СО - биссектриса угла ACB, что и требовалось доказать. б) Из прямоугольного ΔВЕМ найдем ВМ=ЕМ/tg АBС. Из прямоугольного ΔКАН найдем АН=КН*tg АВС (углы АКН и АВС равны, т.к. <АКН=90-<САВ и <АВС=90-<САВ). Гипотенуза АВ=АН+НМ+ВМ=КН*tg АВС+НМ+ЕМ/tg АBС=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС). Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, значит АВ=2R По условию R/НМ=13/6 2R=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС). 2R/НМ=(tg АВС+1+1/tg АВС). tg АВС+1+1/tg АВС=13/3 3tg² АВС+3tg АВС+3=13tg АВС 3tg² АВС-10tg АВС+3=0 D=100-36=64 tg АВС=(10+8)/6=3 tg АВС=(10-8)/6=1/3 Значит углы треугольника равны arctg 3 и arctg 1/3
Увы, я поторопился :))) Было выложено такое решение. 2*S = a*12 = b*20 = c*h; b = (3/5)*a; минимальное значение c = a - b = (2/5)*a; откуда максимальное значение h = = (5/2)*12 = 30; но Это не может быть ответом, потому что при c = a - b; S = 0; и соотношения типа 2*S = a*12 = b*20 теряют смысл. Однако значение h = 29 может быть реализовано. При этом треугольник будет подобен треугольнику со сторонами 1, 3/5, 12/29; и надо просто так подобрать коэффициент подобия, чтобы высота к стороне, которая соответствует 1, равнялась бы 12. Вычислять этот коэффициент нет смысла, потому что вопрос в задаче - найти максимальное ЦЕЛОЕ значение h, а следующее ЦЕЛОЕ значение - 30.
