Из теоремы косинусов есть следствие, что для любого треугольника со сторонами а, b, с и углом γ, противолежащим стороне с действует правило: если c² > a²+b², то угол γ – тупой (cos γ < 0); если c² < a²+b², то угол γ – острый (cos γ > 0); если c² = a²+b², то угол γ – прямой (cos γ = 0).
В нашем случае за сторону "с" принимаем большую сторону, чтобы узнать больший угол. 5²=3²+4², значит угол γ=90°. Исходя из этого запишем ответ: треугольник АВС не является тупоугольным.
Дано: АВСД - ромб; Sавсд = 48 см квадратных; О - середина АВ, К - середина ВС, М - середина СД, Н - середина СД. Найти: S окмн - ? Решение: 1) Sавсд = 1/2 * АС * ВД (АС и ВД - диагонали ромба) 48 = 1/2 * АС * ВД, АС * ВД = 48 * 2; АС * ВД = 96; 2) ОК - средняя линия треугольника АВС, КМ - средняя линия треугольника ВСД, НМ - средняя линия треугольника АСД и НО - средняя линия треугольника АВД. Тогда ОНМК - прямоугольник стороны которого равны половинам диагоналей. Тогда S = (1/2)ВД *(1/2) АС= (1/4) * 96 = 96/4 = 24 см квадратных. ответ: 24 см квадратных.
Проведём высоты СР и ДМ к основанию АВ. ДМ=СР. АМ+ВР=АВ-МР=АВ-СД=27-18=9 см. Пусть АМ=х, тогда ВР=9-х. В тр-ке АДМ ДМ²=АД²-АМ²=9-х². В тр-ке ВСР СР²=ВС²-ВР²=(6√2)²-(9-х)²=72-81+18х-х²=18х-9-х². 9-х²=18х-9-х², 18х=18, х=1. АМ=1 см. ДМ²=9-1=8, ДМ=2√2 см. К основаниям трапеции через точку К проведём перпендикуляр НТ. НТ=ДМ. По свойству трапеции треугольники АКВ и СКД подобны, значит АВ/СД=ТК/НК. Пусть ТК=у, тогда НК=2√2-у. 27/18=у/(2√2-у), 54√2-27у=18у, 45у=54√2, у=1.2√2. ТК=1.2√2 см. S(АВД)=АВ·ДМ/2=27·2√2/2=27√2 см². S(АКВ)=АВ·ТК/2=27·1.2√2/2=16.2√2 см². S(АКД)=S(АВД)-S(АКВ)=27√2-16.2√2=10.8√2 см² - это ответ.
