3) Дано уравнение 16x² + y² + 48x + 32 = 0.
Выделим полный квадрат по переменной х.
16(x² + 2*(3/2)x+(9/4)) – 16*(9/4) + y² + 32 = 0.
16(x + (3/2))²– 36 + y² + 32 = 0.
16(x + (3/2))² + y² = 4. Делим обе части на 4.
((x + (3/2))²/(1/4)) + (y²/4) = 1.
((x + (3/2))²/(1/2)²) + (y²/2²) = 1.
Получено каноническое уравнение эллипса с центром в точке О(-1,5; 0) и длинами полуосей: а = (1/2), b = 2.
Так как b > a, то главная ось параллельна оси Оу.
Расстояние от центра до фокуса с = √(b² - a²) = √(4 – (1/4)) = √15/2.
Координаты фокусов: F₁ = (-1,5; -√15/2), F2 = (-1,5; √15/2).
Координаты вершин: (-1,5; -2) и (-1,5; 2).
