Question

Из точки а не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. расстояние от точки а до точки касания равна 12 см, а до одной из точек перисичения секущейся окружностью равна 18 см . найдите радиус окружности если секущаяся удалена от ее центра на 3 см

Answer 1

АМ -касательная
АN - секкущая АР - её внешняя часть
О - цент окружности
ОК - растояние до секущей
АМ=12
АN= 18
ОК= 3
ОМ=?

для решения воспользуемся без доказательства теоремой о свойствах касательной и секущей проведенной из одной точки:

Теорема
"Произведение всей секущей на её ВНЕШНЮЮ часть равно квадрату касательной"

т.о. АМ*АМ=АМ^2 = AP*AN  12*12 = AP*18  AP=(12*12)/18 =8

PN=AN - AP =18 - 8 = 10

проведем радиусы в точки пересечения секущей ОР и ON

треугольник ОРN - равнобедренный, его высота ОК=3 является также и медианой, т.е. PK=KN=PN / 2 = 10 / 2 = 5

из прямоугольного треугольника OKN по теореме Пифагора определим радиус, он равен гипотенузе треугольника с катетами 3 и 5 см

R = OP = ON = OM = √(5^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34 см ~~ 5,8 см

ответ немного смущает, но видимо это "модификация" преподавателя, для защиты от списывания, наверное цифры у Сканави были другие, если конечно я не ошибся в "расчётах"

ответ: радиус окружности равен √34 см