Мне казалось я уже выкладывал решение, но почему-то не могу найти, наверно был особо принципиален в тот момент. Но чертеж сохранился, на нем решение легко просматривается.
На самом деле это всего лишь упражнение на общие свойства инверсии, главное из которых - конформность (то есть сохранение углов). См. чертеж.
Ясно, что прямые OA, OC и OB перейдут в себя, и образы A' B' C' будут лежать на этих прямых (соответственно). При этом прямые AB и BC перейдут в окружности, проходящие через точку O. На чертеже изображены эти окружности OA'B' и OC'B'. При этом углы между касательными к этим окружностям и прямыми-образами (которые совпадают с исходными) сохраняются. То есть если провести касательную в точке B' к окружности OA'B' то угол между ней и прямой OB будет 20° (такой же, как ∠OBA).
=> эта касательная параллельна OA, => дуги OB' и B'A' равны,
=> ∠B'A'O = 20°.
∠OA'C' = ∠OAC = 90° - 20° = 70°
Дальше сосчитать, чему равен ∠B'A'C', совсем просто.
∠B'A'C' = ∠OA'C' - ∠B'A'O = 50°
ответ: 8√3 (ед. площади)
Вариант решения.
Правильный шестиугольник состоит из 6 равных правильных треугольников, его внутренний угол 120°.
Диагонали, соединяющие вершины через одну, равны, отсекают равные треугольники.
∆ FED - равнобедренный, ⇒ ∠DFE=∠FDE=(180°-120°):2=30°.
ВF║CE, ∆ FKE- прямоугольный, из суммы углов треугольника ∠FKE=60°.⇒
FK=FE:sin60°=(2√3):√3/2=4
На том же основании FL=LC=CK=4
В четырехугольнике LCKF ∠LFK=120°-2•30°=60°
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.
Ѕ(LCKF)=4•4•√3/2=8√3
Значит угол АВС = 60 градусов.
ответ: 60.