Question

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. найдите диаметр окружности,описанной около этого треугольника

Answer 1

Гипотенуза это и есть диаметр.
"а проекция второго катета на гипотенузу равна 16" - то есть мы должны провести высоту HC на гипотенузу AB, и AH=16

треугольники ABC и HBC подобны (по двум углам)
$\frac{BC}{AB} = \frac{HB}{BC}$
пусть HB=x
$\frac{15}{16+x} = \frac{x}{15} \\ x^{2} + 16x = 15^{2} \\ x^{2} + 16x - 15^{2} = 0$
x₁=9 x₂=-25
длина не может быть отрицательным, поэтому будет x=HB=9
диаметр сумме AH и HB
D=AH+HB=16+9=25 см .

Answer 2

Диаметр окружности описанной около треугольника - есть гипотенуза этого треугольника. Пусть гипотенуза - х см, тогда проекция катета равного 15 см равна (х-16) см. Катет - есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией её на гипотенузу, т.е. 15²=х(х-16)
225=х²-16х, х²-16х-225=0, D/4=64+225=289, √289=17, x₁=8+17=25,  x₂=8-17=-9 - это не удовлетворяет смыслу задачи, значит - гипотенуза равна 25 см  и диаметр окружности 25 см
ответ: 25 см