Острый угол между диагоналями <AOB= 60° лежит напротив мЕньшей стороны параллелограмма ABCD ( O- точка пересечения диагоналей параллелограмма) против бОльшей стороны параллелограмм лежит угол AOD=180°-α. <AOD=120° рассмотрим треугольник AOD: AO=10 см (АС:2=20:2=10) DO=6 см(BD:2=12:2=6) <AOD=120° по теореме косинусов: AD²=AO²+DO²-2*AO*DO*cos<AOD AD²=10²+6²-2*10*6*cos120° AD²=136+60, AD²=196 AD=14 ответ: бОльшая сторона параллелограмма =14 см
Внутри угла, равного 45°, взята точка, удаленная от сторон угла на расстояния 2 и √2. Найдите квадрат расстояния от этой точки до вершины угла.
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. Пусть дан угол А=45° и точка М в нем. Опустим из точки М перпендикуляры МВ и МС к сторонам угла. Пусть равным 2 будет ВМ, а равным √2 - МС. Из В на другую сторону угла опустим перпендикуляр ВЕ. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Треугольник АВЕ - прямоугольный и равнобедренный , т.к угол А=45°, и угол АВЕ= 90°-45°=45° Из М проведем параллельно АС отрезок, точку пересечения с ВЕ обозначим К. КМСЕ - квадрат ( все его углы - прямые) ⇒ Треугольник ВКМ - равнобедренный прямоугольный ( доказать просто) КМ=ВК=√2 Тогда ВЕ=2√2⇒ АЕ=2√2 АС=АЕ+ЕС=3√2 АМ- расстояние от М до вершины угла А. АМ²=МС²+АС²= 18+2=20 Квадрат расстояния от точки М до вершины угла равен 20.
R = 7; радиус вписанной в треугольник ABC окружности. 1) Сумма расстояний от точки O до BС и AD равна 7 + 8 = 15; это - высота параллелограмма, и - одновременно - высота треугольника ABC к стороне ВС; я обозначу эту высоту буквой h; h = 15; 2) Если обозначить точки касания сторон треугольника ABC с вписанной окружностью K - для AB, L - для BC, M - для AC, то AK = AM = 24 (треугольник AOK имеет катет 7 и гипотенузу 25, то есть это Пифагоров треугольник 7, 24, 25) Легко видеть, что ПОЛУпериметр треугольника ABC равен p = AK + BL + CL = 24 + BC; 3) теперь площадь треугольника ABC можно выразить двумя S = p*r = 7*(24 + BC) = h*BC/2 = 15*BC/2; 14*(24 + BC) = 15*BC; BC = 336; S = 15*336 = 5040;
против бОльшей стороны параллелограмм лежит угол AOD=180°-α. <AOD=120°
рассмотрим треугольник AOD:
AO=10 см (АС:2=20:2=10)
DO=6 см(BD:2=12:2=6)
<AOD=120°
по теореме косинусов:
AD²=AO²+DO²-2*AO*DO*cos<AOD
AD²=10²+6²-2*10*6*cos120°
AD²=136+60, AD²=196
AD=14
ответ: бОльшая сторона параллелограмма =14 см