Question

Люди, да вы мне я . мне высоты ам и ск треугольника авс пересекаются в точке о, ок=ом, угол вам=углу аск. докажите, что треугольник авс-равносторонний.

Answer 1

Рассмотрим треугольники AKO и CMO. Они равны как прямоугольные треугольники по катету (KO=MO) и прилежащему острому углу (KOA=MAC как противоположные углы пересекающихся прямых). Следовательно высоты поделены точкой пересечения на равные отрезки, это свойство равнобедренного треугольника. Если этого мало, то треугольник AMC равен треугольнику CKA по двум катетам (MO=KO, MC=KA из предыдущего доказательства). Следовательно в них равны и углы КАС и МСА, которые являются углами при основании, а это значит что треугольник равнобедренный

Answer 2

Δ АКО (не знаю символа, подобен короче) ΔОМС, по двум углам -
∠АКО= ∠СМО, как прямые, а ∠КОА=∠МОС как вертикальные.
А так как соответствующее стороны (ОК и ОМ) у них равны, значит ΔАКО=ΔОМС.
Тогда ∠А = 2∠АСК, значит АМ(а соответственно и СК) -биссектриса.
 А если у треугольника совпадают приведенные к двум сторонам биссектриса и высота, этот треугольник равносторонний!