Радиус, проведенный к точке касания перпендикулярный к этой касательной. По условию этот радиус перпендикулярный к хорде АВ. Касательная СD и хорда АВ перпендикулярны к радиусу ОМ. значит СD
См. рисунок в приложении наклонная FA⊥ AD , так как её проекция ВА⊥AD наклонная FO⊥AC , так как её проекция ВО ⊥ AC ( BD⊥AC- диагонали квадрата взаимно перпендикулярны)
По теореме Пифагора диагональ квадрата АС=√(4²+4²)=4√2 Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам АО=ОС=ВО=ОD=2√2
По теореме Пифагора из Δ AFB AF²=AB²+FB²=4²+8²=16+64=80 AF=√80=4√5 Аналогично расстояние FC до стороны CD равно 4√5
По теореме Пифагора из Δ FBO FO²=AO²+FB²=(2√2)²+8²=8+64=72 FO=√72=6√2
Расстояние до стороны АВ; ВС и диагонали BD равно FB=8
Построим на прямой AB за точку A точку L на расстоянии от A, равном ребру тетраэдра (примем ребро за 1 для удобства). Тогда в треугольнике BCL AM - средняя линия (т.к. BM = MC, BA = AL), т.е. AM || CL. Т.е. искомый угол (MA ^ DC) = (CL ^ DC) = ∠LCD. По свойству средней линии CL = 2 * AM. AM - медиана в правильном треугольнике (т.к. тетраэдр правильный). AM = √3 / 2, CL = √3. ∠DAL = 180° - ∠BAD = 120°. В треугольнике DAL по теореме косинусов найдём сторону DL: DL² = DA² + AL² - 2DA· AL · cos120° = 1 + 1 - 2 · (-cos60°) = 3, DL = √3. Таким образом, в треугольнике LDC известны 3 стороны и неизвестен угол ∠LCD = α. Найдём его из теоремы косинусов: DL² = CL² + CD² - 2DC· CL · cosα 3 = 3 + 1 - 2√3 · cosα cosα = √3 / 6 α = arccos(√3 / 6)
Касательная СD и хорда АВ перпендикулярны к радиусу ОМ. значит
СD