R=S/p; (1) a - катеты; с - гипотенуза; площадь равна половине произведения катетов; S=a^2/2; (2) p=(a+a+c)/2=(2a+c)/2; (3) по теореме Пифагора: c^2=a^2+a^2; c=a√2; (4) подставим (2), (3) и (4) в (1): r=a^2/2 * 2/(2a+c)=a^2/(2a+c)= a^2/(2a+a√2)=a/(2+√2); найдем отношение радиуса к гипотенузе: r/c=a/(2+√2) : a√2=1/√2(2+√2)= 1/(2√2+2)=(2√2-2)/(2√2-2)(2√2+2)=(2√2-2)/(8-4)=2(√2-1)/4=0,5√2-0,5=√0,5-0,5;
Sпрямоугольника = a*b = 64 СА -- это диагональ, получим прямоугольный треугольник CAD с углом 30 градусов, в нем катет равен половине гипотенузы))) по т.Пифагора (2а)² = а² + b² --- это второе уравнение системы))) 3a² = b² = (64/a)² a√3 = 64/a a² = 64/√3 a = 8/корень_4_степени_из(3) b = 8*корень_4_степени_из(3) P = 2*(8*корень_4_степени_из(3) + 8/корень_4_степени_из(3)) = = 16*(√3 + 1)/корень_4_степени_из(3) или в общем виде: S = a*b и 3a² = b² (a√3 = b) S = a²√3 ---> a² = S / √3 P = 2*(a+b) = 2*a(1+√3) = 2*√S*(1+√3) / ( √(√3) )
Получатся два прямоугольных треугольника с катетами, равными половине диагонали прямоугольника и углами по 60 градусов (т.к. накрест лежащие углы равны))) --- эти прямоугольные треугольники равны))) значит, второй катет в них = 10/2 = 5 катет против угла в 30 градусов = половине гипотенузы, следовательно, гипотенуза = 10 -- это часть стороны прямоугольника... найдем второй катет -- половину диагонали... ... = √(100-25) = 5√3 вся диагональ 10√3 диагональ прямоугольника -- это гипотенуза прямоугольного треугольника-(половины прямоугольника) с углом в 30 градусов))) следовательно, меньшая сторона прямоугольника = 5√3 (половина гипотенузы))) по т.Пифагора большая сторона прямоугольника = √(300-75) = 15
