Обозначим точку пересечения биссектрисы с АD буквой Н.
В ᐃ АВD биссектриса ВН ⊥ АD,⇒ ВН - высота,⇒
ᐃАВD равнобедренный. Поэтому ВН медиана и делит АD пополам.
АН=НD=84.
АД медиана, значит, ВD=DС. Так как АВ=ВД, то АВ=ВD=DС, и ВС=2АВ.
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.
В ᐃАВС биссектриса делит АС в отношении АВ:ВС=1:2 и АС=3 АE
Проведем ВР параллельно АС до пересечения с продолжением медианы АD в точке P.
ᐃ ВDР =ᐃ АDС т.к. ВD=DС, углы при D равны как вертикальные, ∠СВP=∠ВСА как накрестлежащие ⇒ ВР=АС=3 АE
Треугольники АНE и BНP прямоугольные и подобны по равенству углов
( ∠ ВPА=∠PАС как углы при параллельных АС и ВP и секущей ВС).
АE:ВP=НE:ВН=1:3
ВН=3НE
ВЕ=4НЕ
НE=ВE:4=42
ВН=3*42=126
Из ∆ АНE
АE=√(АН²+НE²)
АE=√(84²+42²)
Возвести большое число в квадрат и извлечь корень из него можно разложением числа на множители.
АE=√(6²14²+3²*14²)=√14²(6²+3²)=14*3√5=42√5
АС=3*42√5=126√5
Из ∆ АВН
АВ=√(ВН²+АН²)
АВ=√(9²*14²+6²*14²)=√14²(9²+6²)=14*√(9*13)=42√13
ВС=2АВ=84√13
Найдены все три стороны.
треугольник АВК - прямоугольный, т.к АК -высота
АК ² = АВ²-ВК²
АК² = 25² -24²
АК² = 625-576=49
АК = 7 см
треугольник АКС - прямоугольный, т.к АК -высота
АС² = АК²+КС²
АС² = 7²+1²
АС² = 49 +1 = 50
АС = √50=5√2
Р = АВ+ВС+АС
Р = 25+25+5√2 = 50 +5√2 = 5(10+√2) см