Вправильной треугольной призме abca1b1c1 известны рёбра: ab =4√2 , aa1 = 4.точка m — середина ребра bc. а) докажите, что прямые b1c и c1m перпендикулярны. б) найдите угол между прямой c1m и плоскостью грани abb1a1.
По определению синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе)) нужно построить прямой угол (две перпендикулярные прямые) --это будет первая вершина треугольника, от вершины прямого угла отложить отрезок, равный 3 см (или 6 мм, или 9 метров...), обозначить вершину А --это будет вторая вершина треугольника, из точки А раствором циркуля, равным 5 см (или 10 мм, или 15 метров соответственно) провести окружность, точка пересечения окружности со второй прямой будет третьей вершиной треугольника и вершиной нужного угла (обозначить В), АВ - гипотенуза... 2) аналогично... катет равен 1 (противолежащий углу), гипотенуза = 2
Диагонали взаимно перпендикулярны, кроме того, углы, образованные ими, равны, а также точкой пересечения диагонали делятся пополам. Пусть О - точка пресечения диагоналей, тогда AO = AC = 16√3, BO = OD = 16. По теореме Пифагора находим гипотенуза AB, которая будет равна √(AO²+OB²) = √(16²+(16√3)²) = √(256+768) = √1024 = 32 => гипотенуза в два раза больше противолежащего катета => угол ABO = 30° => угол ABC =60°, т.к. угол CBO = ABO = 30°. Тогда угол ADC = 60°, т.к. противоположные углы ромба равны. Находим далее угол BAD + BCD, которые равны 360° - угол ABC - ADC = 360°-60°-60° = 240°. Значит, угол BAD = DCB = 1/2*240° = 120°.
Пусть В - начало координат .
Ось X - BA
Ось Y - перпендикулярно Х в сторону С
Ось Z - BB1
Координаты точек
M(√2;√6;0)
B1(0;0;4)
C1(2√2;2√6;4)
C(2√2;2√6;0)
Вектора
B1C ( 2√2;2√6;-4)
C1M ( -√2;-√6;-4)
Уравнение плоскости ABB1A1
y=0
B1C * C1M = 2√2* (-√2) + 2√6*(-√6) + (-4)*(-4) = 0 - перпендикулярны
Синус искомого угла равен
√6 / √ ( 2+6 +16) = 1/2
угол 30 градусов .