2. Длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см, равна 18п см (где п – число пи, приближенно равное 3.14).
Решение: Окружность описанная около правильного треугольника проходит через все три вершины треугольника. Длина окружности можно найти по формуле C = 2пR, где C – длина окружности, п – число пи, а R – радиус окружности. В нашем случае радиус окружности равен половине стороны треугольника, то есть 9/2 = 4.5 см. Подставляем значения в формулу: C = 2 * 3.14 * 4.5 = 9 * 3.14 = 28.26 ≈ 28.26 см.
3. Сторона правильного треугольника, описанного около вписанного правильного шестиугольника со стороной 9 см, равна 27 см.
Решение: Радиус описанной около вписанного многоугольника окружности равен половине стороны многоугольника. Так как внутренний угол правильного треугольника равен 60 градусов, то каждый из трех радиусов окружности, проведенных к вершинам треугольника, составляет с вершиной треугольника 30 градусов. Поэтому одного радиуса можно представить как полусумму других двух радиусов (30+30=60 градусов). Полусумму двух радиусов можно представить как сторону вписанного треугольника. Таким образом, сторона вписанного треугольника равна 2 * 9 * sin(30) = 9 * sin(30) = 9 * 0.5 = 4.5 см. Сторона описанного треугольника равна двойному радиусу описанной окружности, то есть 2 * 4.5 = 9 см.
4. Сторона правильного многоугольника равна 16 см, а количество его сторон равно 24.
Решение: Радиус описанной окружности равен стороне многоугольника, так как радиус описанной окружности является радиусом вписанной в нее окружности и описанный многоугольник является регулярным. Радиус вписанной окружности равен половине стороны многоугольника. Из условия задачи имеем R = 8 см и r = 8 см. Зная, что радиус описанной окружности равен полусумме радиусов описанной и вписанной окружностей, получаем 2R = r + R, 2 * 8 = 8 + R, 16 = 8 + R, R = 16 - 8, R = 8 см. Значит сторона многоугольника равна 2 * R = 2 * 8 = 16 см. Используя формулу внутреннего угла многоугольника, найдем количество углов многоугольника. Угол многоугольника равен (n-2) / n * 180 градусов, где n – количество сторон многоугольника. Подставляем известные значения: 180 = (n-2)/n * 180, упрощаем уравнение: 1 = (n-2)/n, переворачиваем дробь: n/(n-2) = 1, получаем уравнение: n = n-2, 2 = 0. Противоречие! Значит, такий многоугольник существовать не может.
5. Длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, равны 2п см, 7п/12 см и 5п/12 см (где п – число пи, приближенно равное 3.14).
Решение: Внутренний угол треугольника равен 45 + 105 = 150 градусов. Так как углы, смежные с дугой на окружности, суть соответствующие вертикальные или смежные с ними, отсюда получаем, что дуги разделены углами 30×2=60, 75×2=150 и 105×2=210 градусов. Найдем длину окружности по формуле C = 2пr, где С – длина окружности, п – число пи, r – радиус окружности. Длина окружности равна 2 * 3.14 * 5 = 10 * 3.14 = 31.4 см. Теперь найдем длины дуг. Для этого используем пропорцию:
31.4 см -> 360 градусов
2п см -> 60 градусов
x см -> 30 градусов
x = 30 * 2п / 60 = 1п см
Аналогично для второй дуги получаем:
31.4 см -> 360 градусов
7п/12 см -> 150 градусов
y см -> 75 градусов
y = 75 * 7п / 12 / 150 ≈ 0.906п см
Для третьей дуги:
31.4 см -> 360 градусов
5п/12 см -> 210 градусов
z см -> 105 градусов
z = 105 * 5п / 12 / 210 ≈ 0.857п см
Таким образом, длины дуг равны приближенно: 2п см, 0.906п см и 0.857п см.
Чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой:
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3,
где a = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3) - координаты векторов a и b соответственно.
В данном случае у нас есть вектор a (5, m, -1) и вектор b (-10, 20, 2). Запишем их скалярное произведение и приравняем его к нулю:
(5 * -10) + (m * 20) + (-1 * 2) = 0
-50 + 20m - 2 = 0
20m - 52 = 0
20m = 52
m = 52 / 20
m = 2.6
Таким образом, при значении m = 2.6 векторы (5; m; -1) и ( -10; 20; 2) будут перпендикулярными.
26+19=45
АВ=45см