Сторона ab треугольника авс равна 17 см, сторона ас вдвое больше стороны ав, а сторона вс на 10 см меньше стороны ас. найдите периметр треугольника авс.
Пусть в тр-ках авс и а (1)в (1)с (1) 1) равны медианы вк и в (1)к (1) , 2) угол авк =углу а (1)в (1)к (1) 3) угол свк = углу с (1)в (1)к (1) доказать, что тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) доказательство в тр-ке авс продолжим медиану вк и отложим км =вк и точку м соединим с точками а и с аналогичные построения сделаем в тр-ке а (1)в (1)с (1), тогда вм =в (1)м (1) 1) тр-к акв =тр-ку скм ( по двум сторонам вк=км и ак=кс и углу между ними -они вертикальные) 2) аналогично тр-к а (1)к (1)в (1) =тр-ку с (1)к (1)м (1) отсюда следует 3) ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), < авм = < вмс =< а (1)в (1)м (1) = < в (1)м (1)с (1) 4) тогда тр-к всм = тр-ку в (1)с (1)м (1) по стороне вм =в (1)м (1) и двум прилежащим углам 5) отсюда вс =в (1)с (1) и ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), 6) проэтому тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) по двум сторонам и углу между ними второй способ состоит в том, что по теореме " площадь тр-ка равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними выражают стороны ав и вс через медиану вк и углы авк и свк применяя соотношение s (авс) = s (авк) + s (свк) и доказывают, что ав= а (1)в (1) и вс= в (1)с (1)
Треугольники АСД и АВС равнобедренные по условию. ∠ВСА=∠САД как накрест лежащие при параллельных АД и ВС и секущей АС, значит углы при основаниях в тр-ках АВС и АСД равны. ВМ⊥АС, СК⊥АД. Пусть ∠ВАС=α, ВС=х, АС=у, тогда АМ=у/2, АД=ВС+СД=х+у. В тр-ке АВМ АМ=АВ·cosα или у/2=х·cosα ⇒ y=2x·cosα. В тр-ке АСК АК=АС·cosα или (х+у)/2=у·cosα, (x+2x·cosα)/2=2x·cos²α, x+2x·cosα=4x·cos²α, x сокращается, 4cos²α-2cosα-1=0, решаем как квадратное уравнение с неизвестным cosα ⇒⇒ cosα₁=(1-√5)/4, -1<х<0 - угол тупой cosα₂=(1+√5)/4, α=arccos(1+√5)/4=36°. В трапеции АВСД: ∠А=2α=72°, ∠В=180-∠А=108°, ∠Д=α=36°, ∠С=180-∠Д=144° - это ответ.
АС=34
ВС=24
Р.авс=17+34+24=75