(Смотри вложение)
S = 0,5 * BC * AH
Т.к. ΔABС - равносторонний ⇒ AH является не только высотой, но и биссектрисой и медианой. Из этого можно сделать вывод, что ∠BAH = ∠CAH = 30° и BH=СН
Рассмотрим ΔABH
ΔABH - прямоугольный, т.к. AH -высота
Пусть х - BH, тогда 2х - ВА (т.к. треугольник ΔABС равносторонний и сторона, лежащая напротив ∠ 30° равна половине гипотенузы), тогда по т. Пифагора:
х² + (12√3)² = (2х)²
х² - 4х² + 432 = 0
-3х² = - 432 | : (-3)
х² = 144
x = 12 ( корень -12 мы не берём, т.к. сторона треугольника не может быть отрицательной)
Получается ВС = 2 * ВН = 2*12 = 24
S = 0,5 * 24 * 12√3 = 12 * 12√3 = 144√3 см²
ответ: S = 144√3 см²
Треугольник КАР равнобедренный, АК=АР.
Обозначим ∠РКА=α ⇒ ∠КРА=∠BРД=α.
ВМ - высота тр-ка АВС. ВМ и КД пересекаются в точке О.
Прямоугольные тр-ки КОМ и ВДО подобны, т.к. ∠КОМ=∠ВОД как вертикальные, значит ∠ОВД=∠РКА=α. ВМ - высота и биссектриса равнобедренного тр-ка АВС, значит ∠АВС=2α.
В прямоугольном тр-ке РВД ∠BРД+∠PBД=α+2α=90°,
3α=90°,
α=30°. Катет ВД лежит напротив в этого угла, значит РВ=2ВД=2·2=4.
АВ=2РВ=2·4=8.
В равнобедренном тр-ке АВС угол при вершине 2α=60°, значит он правильный.
Периметр тр-ка АВС: Р=3АВ=3·8=24 - это ответ.