Пусть аа1 и сс1 высоты остроугольного неравнобедренного треугольника аbс,а к, l, m середины сторон ab, bc и ca соответственно. докажите, что если угол c1ma1 = углу abc, то c1k = a1l
Т.к. AC₁C - прямоугольный, то MC₁=AM, т.е. ∠AC₁M=∠BAC и из подобия треугольников ABC и A₁BC₁ следует ∠A₁C₁B=∠ACB. Значит ∠MC₁A₁=180°-∠AC₁M-∠A₁C₁B=180°-∠BAC-∠ACB=∠ABC. Аналогично, ∠MA₁C₁=∠ABC. Т.к. по условию ∠C₁MA₁=∠ABC, то MA₁C₁ - равносторонний и ∠ABC=60°. Итак, из прямоугольности треугольника СС₁B и того, что ∠ABC=60° следует, что BL=C₁L=BC₁ и, аналогично, из прямоугольности треугольника AA₁B следует, BK=KA₁=BA₁. Значит, C₁K=BK-BC₁=BA₁-BL=A₁L, что и требовалось.
Пирамида правильная, следовательно, в основании лежит правильный треугольник. Площадь полной поверхности - площадь основания+площадь боковой поверхности. Площадь основания S(o) вычислим по формуле: S=(а²√3):4 S(о)=(9√3):4 Площадь боковой поверхности Sб - по формуле Sб=Р*(апофема):2 Основание высоты МО правильной пирамиды перпендикулярно основанию и лежит в центре вписанной окружности/ Апофему МН найдем из прямоугольного треугольника МОН. Т.к. грань наклонена к плоскости основания под углом 45, высота пирамиды равна радиусу вписанной в правильный треугольник окружности, а апофема МН, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, равна с=а√2, т.е.ОН*√2 МО=ОН. ОН=r=(3√3):6=(√3):2 МН=(√3):2)*√2=(√3*√2):2 Р=3*3=9 Sб=9*(√3*√2):2):2=9*(√3*√2):4 см² Sполн=(9√3):4+(9*√3*√2):4 Sполн=9√3)(1+√2):4 или 2,25*(1+√2) ≈ 5,43 см² ---- bzs*
Обозначил меньшее основание - а, большее основание - b. Тогда периметр трапеции, с учётом условия равенства меньшего основания и боковых сторон, можно записать так Р=3*а+b. Площадь трапеции выглядит так: S=1/2*(a+b)*h, подставим известные нам значения 128=1/2*(a+b)*8 или a+b=(128*2)/8; a+b=32. Выразим из последнего уравнения b и подставим его в уравнение периметра: b=32-a; P=3*a+32-a; получим 52=2*а+32; 2а=52-32; 2а=20; а=10 см. b=32-10=22 см. Получили, что боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, а большее основание равно 22 см.
