Дан параллелограмм АВСD. Опустим высоту ВН к стороне AD, равной 8. Катет АН образовавшегося прямоугольного треугольника равен 3, так как лежит против угла 30° (острые углы в сумме равны 90°, а один из них равен 60° - дано). Второй катет равен ВН=√(6²-3²)=√27=3√3. Тогда в прямоугольном треугольнике BHD катет HD = AD-AH = 8-3=5, а гипотенуза BD равна по Пифагору: BD = √(BH²+HD²)=√(27+25)=2√13.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Найдем вторую диагональ.
BD²+AC² =2(AB²+BC²) или 52+АС² = 2*100 =200 => АС = √148 = 2√37. 2√37 > 2√13. AC > BD.
ответ: BD = 2√13 см.
А можно диагональ BD (она меньшая, так как в треугольниках АВС и ACD с равными двумя сторонами третья сторона BD лежит против острого угла, а AC - против тупого) найти по теореме косинусов из треугольника АBD: BD² = AB²+AD² - 2*AB*AD*Cos60 = 100-48 = 52.
BD = √52 = 2√13 см.
Каждый из данных треугольников АВС и А₁В₁С₁.биссектриса делит на 2 меньших треугольника.
Так как треугольники равны, их стороны тоже равны.
Углы в новых треугольниках при равных боковых сторонах АВ и А₁В₁ равны .
Углы В и В₁ - из равенства исходных треугольников, меньшие - как половина равнх углов А и А₁.
Получившиеся треугольники после проведения биссектрисы в равных треугольниках АВС и А₁В₁С₁ равны по
второму признаку равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, и биссектрисы треугольников АВС и А₁В₁С₁ равны, как стороны равных треугольников.
Получили два параллелограмма, у которых площади равны.
В каждом из полученных параллелограммов проведем диагонали СЕ и АК.
Получили четыре равных между собой треугольника. Площадь каждого из них равна 1/4 площади параллелограмма АВСD.
Ч.т.д.