По теореме о секущей и касательной, проведенных из одной точки к окружности: AD²=AN*AM или AD²=11*9=99. AD=3√11. Проведем диаметр DE. Треугольник ADE прямоугольный, так как <ADE=90 (рапдиус в точке касания касательной). Тогда CosA=AD/AE. Отсюда АЕ=AD/CosA = (3√11)*6/√11=18. В треугольнике ADE по Пифагору DE=√(AE²-AD²). Или DE=√(18²-99)=15. По теореме о секущих из одной точки Е: ED*EF=EM*EN или ED*(ED-2R)=(AE-AM)*(AE-AN) или 15*(15-2R)=9*7. Отсюда 225-30R=63 => 162=30R => R=5,4. ответ: R=5,4.
Из вершины С равнобедренного треугольника АВС, у которого ∠АСВ = 120°, к плоскости α, которая содержит сторону АВ, проведён перпендикуляр СD = 9 см. Проекция медианы СМ треугольника на плоскость α равна 12 см. 1) Вычислите проекцию боковой стороны на плоскость α. 2) Доказать, что прямая АВ перпендикулярна плоскости СМD.
CD⊥α, значит MD - проекция медианы СМ на плоскость α, AD - проекция боковой сторона на плоскость α. MD = 12 см, AD - искомая.
ΔCMD: ∠CDM = 90°, по теореме Пифагора СМ = √(CD² + MD²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см СМ - медиана, а значит и высота равнобедренного треугольника АВС, ∠АСВ = 120°, значит ∠САВ = ∠СВА = (180° - 120°)/2 = 30°. В прямоугольном треугольнике САМ СА = 2СМ = 30 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°. 1) ΔACD: ∠ADC = 90°, по теореме Пифагора AD = √(AC² - CD²) = √(900 - 81) = √819 = 3√91 см
2) СМ⊥АВ так как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и высотой, MD - проекция СМ на плоскость α, значит и MD⊥AB по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. АВ⊥СМ, АВ⊥MD, ⇒ АВ⊥(CMD)
AD²=11*9=99. AD=3√11.
Проведем диаметр DE. Треугольник ADE прямоугольный, так как <ADE=90 (рапдиус в точке касания касательной).
Тогда CosA=AD/AE. Отсюда АЕ=AD/CosA = (3√11)*6/√11=18.
В треугольнике ADE по Пифагору DE=√(AE²-AD²). Или
DE=√(18²-99)=15.
По теореме о секущих из одной точки Е:
ED*EF=EM*EN или ED*(ED-2R)=(AE-AM)*(AE-AN) или
15*(15-2R)=9*7. Отсюда 225-30R=63 => 162=30R => R=5,4.
ответ: R=5,4.