Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).
Можно также использовать ещё одно свойство высоты из прямого угла.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
Если высоту обозначить х, то из подобия треугольников составляем пропорцию: х/4 = 9/х, х² = 36, х = 6 см.
Пусть OM биссектриса ∠AOB, а ON биссектриса ∠AOC. Тогда ∠MON = 25°.
∠MOB = ∠AOB:2 = 40°:2 = 20°, как угол при биссектрисе.
∠MON = ∠MOB+∠BON = 20°+∠BON = 25°
∠BON = 25°-20° = 5°
∠AON = ∠AOB+∠BON = 40°+5° = 45°
∠AOC = 2·∠AON = 2·45° = 90° т.к. биссектриса делит угол пополам.
∠(OA;OC) = ∠AOC = 90° ⇒ OA⊥OC, что и требовалось доказать.