У треугольников ABC и DEC стороны общего угла пропорциональны. CE = CB*cos(C); CD = CA*cos(C); поэтому эти треугольники подобны, и AB = ED/cos(C); Поскольку ∠HEC = ∠HDC = 90°; то окружность, построенная на CH, как на диаметре, пройдет через точки D и E. Поэтому CH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника DEC, и по теореме синусов ED = CH*sin(C); Отсюда sin(C) = 12/13; => cos(C) = 5/13; AB = 60*13/5 = 156;
Можно получить такую "обратную теорему Пифагора" (1/ED)^2 = (1/AB)^2 + (1/CH)^2; :) это соотношение решает задачку в общем виде, если в условии не скрыта Пифагорова тройка (как тут - 5,12,13)
Я добавляю в ответ только для демонстрации метода :) Сразу легко сосчитать, что длина высоты к гипотенузе равна 6 (среднее геометрическое отрезков гипотенузы). Дальше надо смотреть чертеж. Я расположил там оси вдоль высоты и гипотенузы и отметил координаты вершин и ключевых точек. По условию задачи надо найти длину отрезка AK. Точка К лежит на пересечении прямых BC и AM. Уравнения этих прямых составляются легко, поскольку известны точки их пересечения с осями.
(Если прямая пересекает ось X в точке (a.0) и ось Y в точке (0,b) то её уравнение x/a + y/b = 1; проще всего просто убедиться, что обе точки (a,0) и (0,b) удовлетворяют этому уравнению, а через две точки можно провести только одну прямую :))
Прямая BC x/6 + y/9 = 1; Прямая AM x/3 - y/4 = 1; Если рассматривать эти 2 уравнения, как систему, то решением будет точка пересечения прямых K; легко найти x = 78/17; y = 36/17; K (78/17, 36/17) Длина отрезка AK находится так AK^2 = (78/17)^2 + (36/17 + 4)^2 = (130/17)^2; AK = 130/17;
Тут есть любопытный момент. Дело в том, что треугольник AOM - египетский, и гипотенуза его равна AM = 5, то есть AM = OM*5/3; Отсюда гораздо проще вычислить AK, зная значение абсциссы точки K, равной 78/17; AK = (78/17)*(5/3) = 130/17; :))
15 в квадрате =х в квадрате + 12 в квадрате=
225=х в квадрате +144
225-144=81 =>
х=9