Question

Пусть abcd и defg-пар-м такие что точка d лежит на отрезке ag, точка e-на отрезке dc и при этом ab=dg=2ad=2de. пусть м-середина отрезка dg. докажите что cg-биссектриса угла mcf

Answer 1

AB=CD - по свойству параллелограмма ABCD

AB=2*DE=CD ⇒ точка Е - середина CD

CE=ED=AD=DM=MG ⇒ CD=DG

четыр-ник ECFG - параллелограмм

CE || FG, так как ED || FG - по свойству параллелограмма EDGFCE=FG, так как ED=FG - по свойству параллелограмма EDGF

Значит, СF=EG - по свойству параллелограмма ECFG

ΔCDG - равнобедренный ⇒ CM=GE - медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника

Поэтому CF=CM

Продолжим прямую СM до пересечения с прямой FG в точке P

ΔCMD=ΔPMG - по стороне и двум прилежащим к ней углам

DM=MG - по условию∠CMD=∠PMG - как вертикальные углы∠CDG=∠PGD - как накрест лежащие углы при CD || PG и секущей DG

Значит, CM=MP, CD=PG

Рассмотрим ΔСPF:  CF=CM=MP,  PG=2*FG

FG/PG=1/2 и CF/CP=1/2

Известное свойство биссектрисы:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

Это свойство работает и в обратную сторону.

Следовательно, CG - биссектриса угла MCF, ч.т.д.