Точку пересечения высот треугольника KLM обозначим - D. Точку серединного перпендикуляра на сторону DM обозначим - E. Центр окружности вокруг Δ KLM- O.
Рассмотрим Δ KDM -равнобедренный, явно претендующий на равносторонний. Определяем центр окружности вокруг Δ KDM. Проводим средний перпендикуляр треугольника. DO - одновременно является -выстой , биссектрисой и медианой, по условию данного Δ KDM -равнобедренный. KE - средний перпендикуляр и пересекаются они в точке L-это и будет центр окружности Δ KDM.
Рассмотрим Δ KEM и Δ KED- равны по признаку (KE-общая, DE=EM, т.к. E-точка середины и Ŀ 90 гр между равными сторонами). Следовательно, KE=KM вывод Δ KDM -равносторонний. Высота Δ KDM H=√36-9= 5 см. Вспомним соотношени высот в равностороннем треугольнике 1/2 относительно точки их пересечения.Точка C переечение серединного перпендикуляра с стороной KM, и так LC=5/3, DL=2*5/3=10/3. R=10/3.
Рассмотрим углы образованный вокруг точки L их 6 и обазованные бисектрисами в равностореннем Δ KDM они равны между собой 360/6=60гр, следовательно каждый из них 60 гр. Рассмотрим Δ LOM он оказывается - тоже равносторонним. Вывод радиус окружности Δ KDM равен радиусу окружности Δ KLM и равен R=10/3. И ещё вывод что, "если известно, что на этой окружности лежит центр окружности" , то только тогда когда Δ KLM - равнобедренный.
Тут уже есть одно решение, однако, раз присуствует Пифагорова тройка, я предложу свое, немного - совсем чуть-чуть - нестандартное.
Заданный равнобедренный треугольник можно разрезать на два Пифагоровых со сторонами (5,12,13), проведя медиану-высоту-биссектрису к основанию. Действительно, половина основания 5, высота 12, поэтому боковая сторона 13. При этом мы нашли - заодно - и синус угла при основании, он равен 12/13. Отсюда получаем для радиуса описанной окружности
2*R*12/13 = 13; R = 169/24.
Если такой не нравится (хотя не понятно, чем) - есть много получить эту величину. Например, можно провести препендикуляр к боковой стороне через вершину основания до пересечения с продолжением высоты-медианы-биссектрисы (то есть оси симметрии исходного треугольника). Расстояние между полученной точкой и вершиной треугольника (противолежащей основанию, отрезок оси симметрии) - это диаметр описанной окружности (поскольку вписанный прямой угол всегда опирается на диаметр). Поскольку при этом получился опять Пифагоров треугольник (точнее, ему подобный), то
D/13 = 13/12, то есть ответ будет таким же.
Найдем теперь радиус вписанной окружности. Для этого из центра ВПИСАННОЙ окружности проведем препендикуляр к боковой стороне. Отрезок от вершины до центра вписаной окружности это 12 - r, и получившийся треугольник, в котором этот отрезок - гипотенуза, а проведеный радиус - катет, опять подобен пифагоровому (5,12,13) (ну, просто у них угол общий :))
Получается r/(12 - r) = 5/13; откуда найдем r = 10/3;
Опять таки, если такой элегантный не нравится, в нашем распоряжеии есть и тупой :)
Считаем периметр 13*2 + 10 = 36 и площадь 10*12/2 = 60, r = 2*60/36 = 10/3; так мы не потратим ни одной извилины, но получим результат. Кому что нравится :))
30=1/2 * 6 * а; 30 = 3а; а = 30/3 = 10
ответ 10