Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
Находим векторы АВ и АС: АВ = (-1; -5; 6), АС = (1; -3; -3).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
-1 -5 6| -1 -5
1 -3 -3| 1 -3 = 15i + 6j + 3k - 3j + 18i + 5k =
= 33i + 3j + 8k.
Нормальный вектор плоскости АВС это (33; 3; 8).
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты точки А: 33*0 + 3*3 + 8*(-1) + D = 0.
1 + D = 0. отсюда D = -1.
Получаем уравнение плоскости АВС: 33x + 3y + 8z - 1 = 0.
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;
Для параллельной плоскости нормальный вектор сохраняется.
Подставим координаты точки D(-3;-1;-2):
33*(-3) + 3*(-1) + 8*(-2) + D = 0,
-99 - 3 - 16 + D = 0,
-118 + D = 0, отсюда D = 118.
Уравнение 33x + 3y + 8z + 118 = 0.
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |33·(-3) + 3·(-1) + 8·(-2) + (-1)|/ √(33² + 3² + 8²) = |-99 - 3 - 16 - 1|/ √(1089 + 9 + 64) = 119/ √1162 = 17√1162/166 ≈ 3.49095.
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
Уравнение : (x + 3)/(-1) = (y + 1)/(-5) = (z + 2)/6.
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3;-1;-2) перпендикулярно прямой AB.
Вектор АВ (-1; -5; 6) будет нормальным вектором этой плоскости.
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты вектора и точки D:
(-1)*(-3) + (-5)*(-1) + 6*(-2) + D = 0.
-4 + D = 0. отсюда D = 4.
Уравнение: (-1)x + (-5)y + 6z + 4 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:
x + 5y - 6z - 4 = 0.
Можно пристроить к кубу ABCDA1B1C1D1 другой такой же куб следующим образом. Продлим ребра А1А, В1В, С1С, D1D за точки А,В,С,D. на длину ребра куба и через полученные точки A2,B2,C2,D2 проведем плоскость II АВС. Ясно, что я просто "приставил снизу" еще один куб, идентичный исходному.
Очевидно, что А2С II AC1, поэтому угол между СЕ и АС1 равен углу А2СЕ.
Замкнем треугольник А2СЕ, проведя А2Е в плоскости А2А1D1D2.
В треугольнике А2СЕ очень просто вычисляются все стороны.
A2C = √3; (это - диагональ куба, ребро принимаем за единицу длины, то есть ребро куба 1).
из прямоугольного тр-ка А2ЕD2 с катетами A2D2 = 1; D2E = 3/2; находим
А2Е = √(1^2+(3/2)^2) = √13/2;
аналогично из треугольника DCE
CЕ = √(1 + (1/2)^2) = √5/2;
Обозначим косинус угла А2СЕ как х. По теореме косинусов
13/4 = 3+5/4 - x*2*√(5*3)/2;
x = 1/√15 = √15/15; это - косинус искомого угла.