Примем все рёбра заданного тетраэдра равными 1. Задачу можно решить двумя векторным и геометрическим.
1) Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой А в начало и ребром АВ по оси Оу. Находим координаты необходимых точек. С((√3/2; (1/2); 0) Д((√3/6); (1/2); √(2/3)). М((√3/12); (1/4); (√6/6)) К((√3/4); (3/4); 0). Определяем координаты векторов. СД((-√3/3); 0; √(2/3)), модуль равен √((3/9)+0+(2/3) = 1. МК((√3/6); (1/2); (-√6/6)), модуль равен √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2). cosα = ((-√3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(-√6/6))/(1*√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) = = -√2/2. Угол α = 135, или ближайший угол равен 45°.
2) Проверяем геометрическим Если проведём осевое сечение через ребро АД, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды. Они равны по 1*cos30 = √3/2. МК как медиана и высота на сторону АД равна √((3/4)-(1/4) = √(2/4) = √2/2 = 1/√2.
Теперь перенесём отрезок МК из точки К в точку С и новую точку М1 соединим с точкой Д. Получим треугольник ДСМ1 с двумя известными сторонами СД = 1 и СМ1 = 1/√2. Так как ребро АД перпендикулярно ВС, то перемещение точки М в М1 равно 1/2, а отрезок ММ1 = √((1/2)²+(1/2)²+ = √(2/4) = 1/√2. Выяснили, что треугольник ДСМ1 имеет две стороны по 1/√2 и одну, равную 1. Проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1. Получаем прямоугольный треугольник с равными катетами. Значит, угол между МК и СД равен 45 градусов.
По первому признаку подобия треугольников имеем, что данные равнобедр.треуг. подобны. Коэффициент их подобия равен как отношению соотв.сторон, так и отношению периметров. Найдем боковые стороны первого треугольника. Высота к основанию является также медианой, значит по теореме Пифагора боковая сторона равна кореньиз(64+36)=10. Периметр первого треугольника равен 10+10+16=36. Коэффициент подобия k=54/36=3/2=1,5. Значит боковые стороны второго равнобедр.треугольника равны 10*1,5=15 см, а основание равно 16*1,5=24 см.
В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза с, прямой угол С, R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности. Начнём с описанной окружности. Поскольку угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r. Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны (а - r) и (b - r). Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r). Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r. Но ранее мы получили, что с = 2R Тогда 2R = a + b - 2r 2R + 2r = a + b R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.
Задачу можно решить двумя векторным и геометрическим.
1) Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой А в начало и ребром АВ по оси Оу.
Находим координаты необходимых точек.
С((√3/2; (1/2); 0) Д((√3/6); (1/2); √(2/3)).
М((√3/12); (1/4); (√6/6)) К((√3/4); (3/4); 0).
Определяем координаты векторов.
СД((-√3/3); 0; √(2/3)), модуль равен √((3/9)+0+(2/3) = 1.
МК((√3/6); (1/2); (-√6/6)), модуль равен √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2).
cosα = ((-√3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(-√6/6))/(1*√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) =
= -√2/2.
Угол α = 135, или ближайший угол равен 45°.
2) Проверяем геометрическим
Если проведём осевое сечение через ребро АД, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды.
Они равны по 1*cos30 = √3/2.
МК как медиана и высота на сторону АД равна √((3/4)-(1/4) = √(2/4) = √2/2 = 1/√2.
Теперь перенесём отрезок МК из точки К в точку С и новую точку М1 соединим с точкой Д.
Получим треугольник ДСМ1 с двумя известными сторонами СД = 1 и СМ1 = 1/√2.
Так как ребро АД перпендикулярно ВС, то перемещение точки М в М1 равно 1/2, а отрезок ММ1 = √((1/2)²+(1/2)²+ = √(2/4) = 1/√2.
Выяснили, что треугольник ДСМ1 имеет две стороны по 1/√2 и одну, равную 1.
Проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1.
Получаем прямоугольный треугольник с равными катетами.
Значит, угол между МК и СД равен 45 градусов.