Question

Впрямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные в гипотенузы, соответственно равны 24 см и 25 см. найдите периметр треугольника.

Answer 1

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузе.
Тогда гипотенуза равна 25*2см = 50 см.
Высота в прямоугольном треугольнике является средним геометрическим для проекций катетов на гипотенузу. Пусть один отрезок, на который разбивает высота гипотенузу, равен х см. Тогда другой отрезок равен (50 - х) см. Получим уравнение:
$\sqrt{x(50-x)} = 24$
x(50 - x) = 576
50x - x² - 576 = 0
x² - 50x + 576 = 0
$\left \{ {{ x_{1} } + x_{2} = 50} \atop {x_{1}* x_{2} = 576 }} \right.$
$\left \{ {{ x_{1} = 18} \atop { x_{2}= 32 }} \right.$
Значит, высота делит гипотенузу на отрезки, равные 32 и 18 см соответственно.
Найдем по теореме Пифагора катет в прямоугольном треугольнике, в котором этот катет является гипотенузой:$\sqrt{24^{2} + 18^{2} } = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$см
Найдем по теореме Пифагора последний катет большого прямоугольного треугольника:
$\sqrt{50^{2} - 30^{2} } = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$см
Теперь найдем периметр треугольника:
P = 30 см + 40 см + 50 см = 120 см
ответ: 120 см.