Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁. АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁ Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Если наложить треугольники равными углами, то их стороны (лучи АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁) совпадут. Так как эти стороны равны, то совпадут и вершины В и В₁, С и С₁. Значит, ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому ∠ABD = ∠ADB, BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x. ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°. ∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится: cos 80° ≈ 0,1736 BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
ДАНО: АВСD – ромб ; точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD ; CF = FD ; CE = EB.
ДОКАЗАТЬ: ЕF = BO , EF перпендикулярен АС. ________________________
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1) Рассмотрим ∆ BCD: CF = FD , CE = EB → поэтому EF - средняя линия. По свойству средней линии: Средняя линия параллельна третьей стороне, то есть BD и равна её половине → EF || BD и EF = 1/2 × BD
По свойству ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам → ВD перпендикулярен АС ; ВО = ОD = 1/2 × BD ; AO = OC = 1/2 × AC
Значит, EF = 1/2 × BD = 1/2 × 2 × BO = BO
2) Как было сказано вышe: EF || BD, но AC перпендикулярен BD. Если одна из двух параллельных прямых a или b перпендикулярна третьей прямой c, то и другая прямая a или b перпендикулярна этой же прямой c.
Из этого следует, что EF перпендикулярен AC, что и требовалось доказать.
Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁.
АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Если наложить треугольники равными углами, то их стороны (лучи АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁) совпадут. Так как эти стороны равны, то совпадут и вершины В и В₁, С и С₁. Значит, ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.