Из условия известно, что стороны прямоугольника равны 8 дм и 1,5 м (=15 дм). Для того, чтобы найти диагональ прямоугольника рассмотрим прямоугольный треугольник образованный сторонами прямоугольника и диагональю.
Стороны прямоугольника это катеты прямоугольного треугольника, а диагональ прямоугольника — гипотенуза.
Для нахождения гипотенузы будем использовать теорему Пифагора.
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
a^2 + b^2 = c^2;
8^2 + 15^2 = c^2;
64 + 225 = c^2;
c^2 = 289;
c = 17 дм. диагональ прямоугольника
Объяснение:
Докажем сначала следующее вс утверждение. Геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD (BC || AD) или на её сторонах, и таких, что S$\scriptstyle \Delta$XAB = S$\scriptstyle \Delta$XCD, есть отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.
Действительно, пусть P и Q — середины оснований BC и AD трапеции ABCD, h - высота трапеции . Если точка X принадлежит отрезку PQ, то XP и XQ — медианы треугольников BXC и AXD, поэтому
Кроме того,
SABPQ = $\displaystyle {\frac{BP + AQ}{2}}$ . h = $\displaystyle {\frac{CP + DQ}{2}}$ . h = SCPQD.
Следовательно, S$\scriptstyle \Delta$XAB = S$\scriptstyle \Delta$XCD.
Пусть теперь X — точка внутри трапеции ABCD, для которой S$\scriptstyle \Delta$XAB = S$\scriptstyle \Delta$XCD (рис.2). Предположим, что X не лежит на прямой PQ. Поскольку S$\scriptstyle \Delta$XBP = S$\scriptstyle \Delta$XCP и S$\scriptstyle \Delta$XAQ = S$\scriptstyle \Delta$XDQ, то
SABPXQ = SCPXQD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SABCD.
Если точки X и C лежат по одну сторону от прямой PQ, то
$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SABCD = SABPQ + S$\scriptstyle \Delta$PXQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SABCD + S$\scriptstyle \Delta$PXQ,
что невозможно. Аналогично для случая, когда точки X и C лежат по разные стороны от прямой PQ.
Пусть теперь ABCDEF — данный шестиугольник; AB || DE, BC || EF, CD || AF. Докажем, что треугольники ACE и BDF равновелики. В самом деле, пусть прямые AB и EF пересекаются в точке M, прямые AB и CD — в точке N, прямые CD и EF — в точке K (рис.2). Обозначим
$\displaystyle {\frac{MA}{MN}}$ = x, $\displaystyle {\frac{NC}{NK}}$ = y, $\displaystyle {\frac{KE}{KM}}$ = z.
Тогда
S$\scriptstyle \Delta$AME = x(1 - z)S$\scriptstyle \Delta$MNK, S$\scriptstyle \Delta$ANC = y(1 - x)S$\scriptstyle \Delta$MNK, S$\scriptstyle \Delta$CKE = z(1 - y)S$\scriptstyle \Delta$MNK.
Поэтому
S$\scriptstyle \Delta$ACE = S$\scriptstyle \Delta$MNK - S$\scriptstyle \Delta$AME - S$\scriptstyle \Delta$ANC - S$\scriptstyle \Delta$CKE =
= (1 - x(1 - z) - y(1 - x) - z(1 - y))S$\scriptstyle \Delta$MNK = (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S$\scriptstyle \Delta$MNK.
Учитывая, что
$\displaystyle {\frac{MF}{MK}}$ = $\displaystyle {\frac{MA}{MN}}$ = x, $\displaystyle {\frac{NB}{NM}}$ = $\displaystyle {\frac{NC}{NK}}$ = y, $\displaystyle {\frac{KD}{KN}}$ = $\displaystyle {\frac{KE}{KM}}$ = z
(что вытекает из параллельности противоположных сторон данного шестиугольника), аналогично получим, что
S$\scriptstyle \Delta$BDF = (1 - x - y - z + xy + xz + yz)S$\scriptstyle \Delta$MNK.
Следовательно, S$\scriptstyle \Delta$ACE = S$\scriptstyle \Delta$BDF.
Пусть P, G, Q, H — середины отрезков AF, AB, CD и DE соответственно; O — точка пересечения отрезков PQ и GH (рис.3). Тогда, по ранее доказанному,
S$\scriptstyle \Delta$AOC = S$\scriptstyle \Delta$DOF, S$\scriptstyle \Delta$AOE = S$\scriptstyle \Delta$BOD, S$\scriptstyle \Delta$ACE = S$\scriptstyle \Delta$BDF.
Поэтому
S$\scriptstyle \Delta$BOF = S$\scriptstyle \Delta$BDF - S$\scriptstyle \Delta$DOF - S$\scriptstyle \Delta$BOD =
= S$\scriptstyle \Delta$ACE - S$\scriptstyle \Delta$AOC - S$\scriptstyle \Delta$AOE = S$\scriptstyle \Delta$OCE.
Следовательно, точка O принадлежит отрезку, соединяющему середины сторон BC и EF.
Другие решения: см. Квант, N5, 1986, с.33
Объяснение:
BC/sinα = 2R
sinα = BC/(2R) = √2/2 (т.к. по условию BC/R = √2)
⇒α = 45° или α = 135°
По теореме косинусов:
1) α = 45°
BC² = (3√2)² + 4² - 2·4·3√2·√2/2 = 34 - 24 = 10
BC = √10
2) α = 135°
BC² = (3√2)² + 4² + 2·4·3√2·√2/2 = 34 + 24 = 58
BC = √58
√58 < 4 + 3√2 ⇒ оба варианта подходят
ответ: √10 см или √58 см