Около трапеции описана окружность, следовательно трапеция равнобедренная (т.к. сумма противолежащих углов равна 180). Биссектрисы углов при основании образуют равнобедренный треугольник (половины равных углов равны). Радиус вписанной окружности делит основание пополам (т.к. является высотой и медианой). Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Таким образом, искомый пятиугольник разделен на четыре равных (по двум катетам) прямоугольных треугольника.
S= 4*(a/2)r/2 =ar
Биссектрисы углов при боковой стороне перпендикулярны (т.к. сумма односторонних углов при параллельных равна 180). Радиус к боковой стороне является высотой из прямого угла и равен среднему пропорциональному проекций катетов.
r= √(a/2*b/2) =√(ab)/2
S= a√(ab)/2 =3√15/2
В Δ АВС ∠A =67°, ∠C =35°, BD – биссектриса ∠ АВС. Через вершину В проведена прямая MN ║ AC. Найдите ∠ MBD.
Решение: ∠В=180-67-35=78°
∠АВД=1\2 ∠В=78:2=39° (по определению биссектрисы)
∠АДВ=180-67-39=74°
∠ВДС=180-74=106° (по свойству смежных углов)
∠МВД=∠ВДС=106° (как внутренние накрест лежащие при АС║MN и секущей ВД)
ответ: 106°.