AB - большее основание трапеции (параллельные основания не могут быть равны, так как получим параллелограмм и боковые стороны также будут равны).
O - середина AB. AOСD - параллелограмм (OA=CD, OA||CD) => OC=DA. Аналогично OD=BC. Трапеция составлена из трех равносторонних треугольников.
△KCL=△LDM (по двум сторонам и углу между ними; соответствующие стороны составляют равные доли от равных длин, углы равны 60°*2=120°) => KL=LM.
Достроим трапецию до правильного шестиугольника. На сторонах шестиугольника возьмем точки аналогично K. Получим вершины правильного шестиугольника (его стороны равны аналогично KL=LM).
Вершины правильного шестиугольника делят описанную окружности на шесть равных дуг, ∪KL=360°/6=60°.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, ∠LMK=∪KL/2=30°.
Хитрый треугольник со стороной 5 — ни что иное, как египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5.
Т₁, Т₂, Т₃ — точки касания шаров исходной плоскости
U₁, U₂, U₃ – точки касания шаров второй плоскости
O₁, O₂, O₃ – центры шаров
Пусть расстояние 3 между точками касания шаров r₁ и r₂, расстояние 4 — между шарами r₁ r₃, расстояние 5 — между шарами r₂ r₃
Рисунок 1 - вид сверху на плоскость с точками касания шаров. Красными окружностями показаны вычисленные радиусы шаров
----------------------------------------
Рассмотрим прямоугольную трапецию T₁T₂O₂O₁ (рисунок 2), образованную точками касания двух шаров и их центрами. Основания этой трапеции — радиусы шаров, наклонная боковая сторона — сумма радиусов,
O₁O₂ = r₁ + r₂
боковая сторона с прямыми углами — это сторона исходного треугольника.
T₁T₂ = 3
Проекция наклонной боковой стороны на основание равна разнице радиусов шаров r₂ - r₁
По т. Пифагора для прямоугольных треугольников в каждой из трёх таких трапеций
(r₂ – r₁)² +3² = (r₂ + r₁)²
(r₃ – r₁)² +4² = (r₃ + r₁)²
(r₃ – r₂)² +5² = (r₃ + r₂)²
r₁² - 2*r₁*r₂ + r₂² + 9 = r₁² + 2*r₁*r₂ + r₂²
r₁² - 2*r₁*r₃ + r₃² + 16 = r₁² + 2*r₁*r₃ + r₃²
r₂² - 2*r₂*r₃ + r₃² + 25 = r₂² + 2*r₂*r₃ + r₃²
4*r₁*r₂ = 9
4*r₁*r₃ = 16
4*r₂*r₃ = 25
из второго
r₁ = 4/r₃
подставим в первое и третье
4*4/r₃*r₂ = 9
4*r₂*r₃ = 25
Перемножим
4*4*4*r₂² = 9*25
8*r₂ = 3*5
r₂ = 15/8
подставим в первое
4*r₁*15/8 = 9
r₁ = 6/5
и подставим в третье
4*15/8*r₃ = 25
r₃ = 10/3
Радиусы шаров определены.
Между пересекающимися плоскостями шары располагаются так, что меньший шар r1 ближе всего к линии пересечения, средний шар r2 дальше, и наибольший ещё дальше r3
Для трапеции из пункта T₁T₂O₂O₁ продолжим наклонную боковую сторону O₂O₁ до линии пересечения плоскостей. (рисунок 3)
x = Т₁K – расстояние от точки касания меньшего шара до линии пересечения плоскостей по прямой,
Из подобия ΔT₁O₁K и ΔT₂O₂K
x/r₁ = (x+3)/r₂
x*r₂ = (x+3)*r₁
x*15/8 = x*6/5 + 18/5
x*(75 – 48)/40 = 18/5
27x = 18*8
3x = 16
x = 16/3
KT₁ = 16/3
Аналогично для шаров r₁ r₃ рассмотрим трапецию Т₁T₂O₂O₁ и ΔT₁O₁L, ΔT₂O₂L (рисунок 4)
x/r₁ = (x+4)/r₃
x*r₃ = (x+4)*r₁
x*10/3 = x*6/5 + 24/5
x*(50 – 18)/15 = 24/5
32/15*x = 24/5
4/3*x = 3
x = 9/4
LT₁ = 9/4
----------------------------------------------
Найдём высоту треугольника KLT₁
Гипотенуза по т. Пифагора
KL² = KT₁² + LT₁² = (9/4)² + (16/3)² = 4825/144 = 25/144 * 193
KL = 5/12*√193
Площадь через катеты равна площади через гипотенузу и высоту к ней
9/4*16/3 = MT₁*5/12*√193
3*4 = MT₁*5/12*√193
MT₁ = 144/5/√193
----------------------------------------
Теперь перейдём в секущую плоскость O₁T₁M (рисунок 5)
∠O₁MT₁ = arctg(6/5/144*5√193) = arctg(√193/24)
Угол между плоскостями
∠O₁MU₁ = 2*arctg(√193/24)
Расстояние между точками касания плоскостей малым шаром
O₁M по т. Пифагора
O₁M² = 36/25 + 144²/(25 *193) = 27684/4825
O₁M = √(27684/4825) = 6/5*√(769/193)
Высота треугольника O₁MT₁ через площадь, площадь через катеты и площадь через гипотенузу и высоту к ней.
6/5 * 144/(5√193) = h*6/5*√(769/193)
144/5 = h√769
h = 144/(5√769)
Расстояние между точками касания плоскостей малым шаром
T₁U₁ = 2h = 288/(5√769)
Есть еще теорема "каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон"